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ŒUVRES

DE

HENRI POINCARÉ

PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLA RS

Quai des Grands-Augustins, Si

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ŒUVRES ■^^-

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HENRI POINCARÉ *^

PUBLIÉES

SOUS LES AUSPICES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES

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LA SECTION DE GÉOMÉTRIE TOME VII

PUBLIÉ AVEC LA COLLABORATION DE

JACQUES LÉVY

ASTRONOME A l'OBSERVATOIRE DB PARIS

PARIS

GAUTHIER-VILLARS, ÉDITEUR

LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE Quai des Grands-Augustins, 55

1952

Copyright by Gauthiei'-Villars, igSî. Tous droils de Iradnclion, de reproduction et d'adaptation rcseivép pour tous pays.

MÉCANIQUE CÉLESTE

ET

ASTRONOMIE

AVANT-PROPOS

La quatrième Section des Œuvres de Henri Poincaré, qui comprend les Tomes VII et VIII, groupe ceux des Mémoires qui traitent princi- palement de Mécanique analytique, de Mécanique célesle et d'Astro- nomie. Il est fait constamment appel dans ces Mémoires à des travaux d'Algèbre et d'Analyse figurant dans les Sections précédentes, notam- ment sur les courbes définies par les équations différentielles et sur les séries trigonomélriques, qu'on trouvera dans les Tomes I et IV des Œuvres. Inversement, le présent Tome contient, entre autres, les théories des coefficients de stabilité, des formes de bifurcation, des équations aux variations, des invariants intégraux, des propriétés des solutions de l'équation de Mathieu. Le caractère d'unité qu'offre l'œuvre de Henri Poincaré, qui se traduit par exemple par la résolution d'un problème du Calcul des variations au moyen de considérations empruntées à l'Électrostatique, ainsi qu'on le verra plus loin, rendait impossible une nette délimitation des différentes Sections.

J. L.

ANALYSE

DE SES

TRAVAUX SCIENTIFIQUES

Faite Pau Henri POINCARÉ (').

Acta Matkcniatica, t. 38, p. lo^-n^ (1921J

MÉCANIQUE CÉLESTE.

XVII. — Généralités sur les équations de la Dynamique et de la Mécanique céleste [164, 166, 183, 187, 278,280].

Les équations de la Dynamique présentent des propriétés remarquables qui ont été mises en évidence par Jacobi dans ses Vorlesungen.

Quelles sont les conséquences plus ou moins immédiates de ces propriétés? Quel parti peut-on en tirer pour la mise en équation des problèmes de Dyna- mique et en particulier des problèmes de Mécanique céleste? Telle est la première question dont je veux parler ici.

J'ai été amené à passer en revue les principales propriétés des équations canoniques [183,278]. Les propriétés sont classiques; et je n'ai eu qu'à perfec- tionner certains détails; en me servant surtout du caractère bien connu qui

(') On n'a reproduit ici que les extraits de celte Analyse qui concernent les matières traitées dans le présent Volume. Les Mémoires figurent sous les numéros qu'ils portent dans la biblio- graphie qui suit l'Analyse. (J. L.)

H. P. — VII. I

5 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

permet de reconnaître si un cliangemenl de variables conserve la forme canonique des équations.

Ce genre de transformations facilite la mise en équation du problème des trois corps; c'est ce que j'ai montré [164, 187]. On sait que dans le procédé classique on rapporte toutes les planètes à des axes mobiles passant par le Soleil L'inconvénient est que la fonction perturbatrice n'est pas la même pour toutes les planètes. Un autre procédé consiste à rapporter chaque planète au centre de gravité du système formé par le Soleil et toutes les planètes inférieures à celle (]ue l'on considère. L'inconvénient est évité, mais la fonction perturbalrice est un peu plus compliquée. J'ai proposé un troisième procédé, dans lequel les coordonnées de chaque planète sont rapportées au Soleil, et sa vitesse à des axes fixes.

Malgré les travaux dont les équations canoniques ont été l'objet depuis Jacobi, toutes leurs propriétés ne sont pas connues, ou plutôt on n'a pas insisté sur toutes les formes que peuvent revêtir ces propriétés et qu'il peut être utile de connaître. Si par exemple ou étudie les équations aux variations des équa- tions de la Dynamique, c'est-à-dire les équations qui définissent une solution infiniment peu différente d'une solution donnée, on rencontre des propositions importantes sur lesquelles j'ai attiré l'attention [183, 278].

D'un autre côté, j'ai été amené à introduire une notion nouvelle, celle des invariants intégraux [183, 280]. Ce sont certaines intégrales définies simples ou multiples qui demeurent constantes, quand le champ d'intégration varie confor- mément à une certaine loi définie par une équation différentielle. Si par exemple on envisage les équations différentielles relatives au mouvement d'un fluide incompressible, le volume est un invariant intégral.

Les équations canoniques de la Dynamique possèdent des invariants inté- graux remarquables et l'existence de ces invariants jette une grande lumière sur leurs propriétés.

Pour en finir avec ces généralités sur les équations de la Dynamique et le problème des trois corps, je signalerai un dernier travail [lG(i]. On sait que Bruns a démontré que le problème des trois corps ne saurait admettre d'autre intégrale algébrique que les intégrales classiques. Malheureusement dans sa démonstration subsistait une lacune grave et particulièrement délicate à combler. J'ai été assez heureux pour mettre la belle et ingénieuse démonstration de M. Bruns à l'abri de toute objection.

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 3

XVIII. — Problème des trois corps ; propriétés qualitatives [38, 92, 163, 167, 183. 204, 278, 280].

Ce qui va suivre est le développement naturel des méthodes dont il a été question plus haut au paragraphe V et leur application à la Mécanique céleste.

J'ai montré de diverses manières [183, 278] qu'en dehors des intégrales classiques le problème des trois corps n'admet pas d'intégrale analytique et uniforme, et il en résulterait que la plupart des séries proposées jusqu'ici pour l'intégration de ce problème, de même que celles dont il sera question dans le paragraphe suivant ne sont pas convergentes et ne peuvent être utilisées que dans un calcul approché.

D'après ce qui précède, il semble qu'il soit impossible en général d'exprimer les dislances mutuelles des astres par des séries purement trigonomélriques convergentes. Mais il est des cas particuliers où les séries aux(|uelles on est conduit ne contiennent qu'un seul argument et où leur convergence est évi- dente. En effet, j'ai démontré [38, 92] (jue, dans le problème des trois corps, on peut choisir les éléments initiaux du mouvement de telle façon que les distances mutuelles des trois niasses soient des fonctions périodiques du temps. On est ainsi amené à une solution particulière du problème, que l'on peut appeler périodique.

Ces solutions périodiques sont de trois sortes : dans les unes, les inclinaisons sont nulles et les excentricités très petites; dans d'autres, les inclinaisons sont nulles et les excentricités finies; dans d'autres, enfin, les inclinaisons sont finies et les excentricités très petites.

Je suis revenu [183, 278] sur ces solutions périodiques et je les ai étudiées en détail. Les procédés dont je me suis servi pour démontrer leur existence sont très simples et se ramènent au calcul des limites.

Mais on peut arriver à cette démonstration par une voie toute différente, qu'il pourra être souvent utile d'adopter, mais dont je n'ai pas encore tiré tout le parti possible. Supposons par exemple que l'on recherche les géodésiques d'une surface indéfinie présentant la même forme générale cju'un hjperboloïde à une nappe. On sera certain alors qu'il doit y avoir une géodésique fermée (correspondant à une solution périodique) parce que, parmi toutes les courbes fermées que l'on peut tracer sur la surface et (pii en font le tour, il doit y en avoir une qui est plus courte que toutes les autres.

4 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

Los mômes principes sont susceptibles d'êlre appliqués à divers problèmes de Mécanique, grâce au principe de moindre action que l'on peut employer soit sous la fornif que lui a donnée Hamllton, soit sous celle que lui a donnée Mauperluis. Je n'ai fait qu'esquisser celle méthode dont il y a sans doute encore beaucoup à tirer.

Outre les solutions périodiques, les équations du problème des trois corps admettent aussi d'autres solutions remarquables que j'appelle asympto- tiques [ 183, 278]. Ce qui caractérise ces solutions c'est qu'elles se rapprochent indéfiniment d'une sûluliou périodique, ou bien qu'elles s'éloignent sans cesse d'une solution périodique dont elles sont infiniment rapprochées pour < =^ — oo.

D'autres solutions remarquables sont plus difficiles encore à apercevoir [280]. Je citerai d'abord les solutions périodiques de deuxième espèce, caractérisées par ce fait que deux des corps se rapprochent périodiquement de façon à presque se choquer.

Nous avons encore les solutions périodiques de deuxième genre; si l'on fait varier d'une manière continue un des paramètres dont dépend le problème, par exemple l'une des masses, on voit une solution périodique du premier genre se déformer d'une façon continue, sa période restant égale à T. A un certain moment, cette solution se dédouble pour ainsi dire, ou plutôt se détriple, je veux dire qu'à un certain moment on a trois solutions périodiques très peu différentes; l'une d'elles a encore pour période T, les deux autres ont pour période un multiple de T. Ce sont les solutions périodiques du deuxième genre.

Je parlerai enfin des solutions doublement asymptotiques. Pour <= — oo , elles sont infiniment voisines d'une solution périodique, puis elles s'en éloignent beaucoup, ensuite elles s'en rapprochent de nouveau, de telle sorte que pour i =+ 00, elles en sont encore infiniment voisines.

Pour étudier les propriétés et les rapports de ces différentes solutions, je me suis servi des invariants intégraux. Ces rapports sont très compliqués, de sorte que celte étude est éminemment propre à mettre en évidence la difficulté du problème des trois corps.

Je n'ai pu résoudre rigoureusement et complètement le problème de la stabi- lité du système solaire, en entendant ce mot dans un sens strictement mathé- matique. L'emploi des invariants intégraux m'a cependant permis [183, 280] d'atteindre certains résultats partiels, s'appliquant surtout au problème dit restreint, où les deux corps principaux circulent dans des orbites sans excen- tricité, pendant que le corps troublé a une masse négligeable. Dans ce cas, si

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on laisse de côté certaines trajectoires exceptionnelles, dont la réalisation est infiniment peu probable, on peut démontrer que le système repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa situation initiale. C'est ce que j'ai appelé la stabilité à la Poisson.

XIX. — Problème des trois corps ; développements approchés et applications [47, '.l7, 115, 133, 119, 15S, 159, 1«, 208, 210, 214,

215,216,279].

Tous les théorèmes dont il a été question dans le paragraphe précédent ont un caractère commun, ils sont rigoureus. Ceux dont je vais parler maintenant ne seront en général qu'approchés et auront par conséquent avant tout un intérêt pratique. Ce sont cependant les seuls dont les astronomes fassent et puissent faire elTeclivement usage.

Dans quelles conditions ces séries divergentes peuvent-elles cire utilisées avec succès ? C'est ce que j'ai cherché à éclaircir ([279], Chapitre intitulé Calcul formel). J'ai montré dans quelles limites cet emploi est légitime, comme l'est, pour citer un exemple célèbre, celui de la série de Stirling, et j'ai fait voir que les règles du calcul de ces séries sont les mêmes que celles de séries ordinaires.

J'ai justifié ainsi l'emploi que font les astronomes de ce genre de développe- ments; et en particulier des développemenis trigonoméiriques. J'ai cherché en outre à perfectionner les méthodes qui permettent de les former.

Rappelons en quelques mois comment le problème se pose.

On ne peut résoudre le problème des n corps que par approximations succes- sives, et la première idée qui s'est présentée a consisté à développer les coor- données des astres en séries ordonnées suivant les puissances des masses. C'est sur cette idée qu'est fondée toute la Mécanique céleste ancienne. Mais quels que soient les services qu'aient rendus autrefois ces anciens procédés et qu'ils soient capables de rendre encore, on n'a pas lardé à s'apercevoir de leur insuffisance et de leur impuissance à donner une approximation indéfinie. Dans les dévelop- pements auxquels ils conduisent, on voit en efl'et le temps entrer non seulement sous les signes sinus et cosinus, mais en dehors de tout signe trigonométrique. Ce fait suffit pour démontrer que le champ où les anciennes mélhodes conservent leur efficacité, quelque étendu qu'il puisse être, est certainement limité.

C'est ce qui explique les efforts qu'ont faits les géomètres pour remplacer

6 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

les séries anciennes par des développemenls purenienl Irigonométriques. Dans ces derniers temps, ou a proposé deux méthodes remarquables qui paraissent atteindre complètement ce but. La première esi celle de M. Gjldén, qui est fondée sur l'emploi des fondions elliptiques; la seconde est celle de M. Lindsledt, dont je me suis surtout occupé.

Dans celle dernière méthode, un artifice ingénieux permet à chaque approxi- mation de faire disparaître les termes séculaires qui peuvent s'être introduits. Il est aisé de voir que cet artifice réussira toujours s'il n'y a qu'un lei'me à faire disparaître; mais il n'en serait plus de même s'il s'était introduit à la fois deux termes séculaires. Il est facile de vérifier d'ailleurs que, dans les premières approximations, on n'a à se débarrasser que d'un seul terme; mais on peut se demander s'il doit en être toujours ainsi. Un examen superficiel pourrait faire croire le contraire, et même M. Lindsledt était disposé à penser que sa méthode ne réussirait que s'il n'v avait entre les arguments aucune relation linéaire.

Je suis parvenu à démontrer que le terme séculaire qui peut apparaître à chaque approximation est toujours unique et que, par conséquent, la méthode de M. Lindsledt est toujours applicable [07]. Pour cela, j'ai eu recours à un théorème qui semblait ne se rapporter eu aucune façon à la question, c'est- à-dire au théorème de Green.

J'aurais pu également, comme je l'ai fait ensuite [llo, 133], employer les invariants intégraux ou bien me servir des théorèmes de Jacobi sur les équations de la Dynamique.

La méthode de M. Newcomb est fondée sur les mêmes principes; mais elle s'applique plus naturellement aux cas les plus généraux du problème des trois corps. J'y ai apporté de notables perfectionnements [183, 279, 208]. La même question se posait que pour la méthode de M. Lindstedl. On pouvait disposer de certaines arbitraires pour faire disparaître les termes séculaires; mais il y avait deux fois plus de termes à faire disparaître que d'arbitraires. Heureusement chaque fois que Ton fait disparaître l'un de ces termes, un autre disparaît spon- tanément. Je me suis servi de la méthode de Jacobi [279] pour démontrer celte disparition spontanée et la possibilité du développement. Une fois celle possi- bilité établie, j'ai donné ([279], Chapitre XIV) le moyen de former effective- ment et directement les séries.

Il y avait là toutefois un grave inconvénient, puisqu'il fallait dans deux analvses entièrement séparées démontrer la possibilité du développement et en calculer les coefficients. Ayant remarqué qu'une certaine expression devait être

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difféienlielle exacte, j'en ai profité pour modifier la mélhode ([279], Chap. XV). Gerlaines intégralions peuvent être évitées et remplacées par des diflerenliations ou des opérations algébriques; il en résulte d'abord que la possibilité du déve- loppement devient presque évidente. De plus les calculs sont simplifiés. La partie la plus pénible du calcul, bien qu'elle ne présente aucune difficulté théo- rique, est en effet la substitution des valeurs approchées des variables dans les deux membres des équations difi'érentielles. La mélhode nouvelle permet de diminuer de près de moitié le nombre de ces substitutions.

Mais on peut aller plus loin encore dans celte voie. C'est ce que j'ai montré plus tard [208J. Je me suis servi d'une expression différentielle exacte analogue à celle dont je viens de parler et j'ai pu diminuer encore le nombre des substi- tutions et des intégrations. On remarquera que le théorème de Poisson (inva- riabilité des grands axes en tenant compte du carré des masses) devient presque intuitif.

Tous ces procédés se trouvent en défaut quand les moyens mouvements sont près d'être commensurables. 11 faut alors employer une méthode dérivée de celle do Delaunay. Dans l'invention première de celle méthode, j'ai été devancé de quelques jours par M. Bohlin, mais j'y ai apporté divers perfectionnements on me servant toujours des mêmes principes. Je me bornerai à dire que cette mélhode permet de discuter les cas singuliers dits « de libration » où il y a commensurabilité exacte entre certains mouvements moyens.

Quelle relation y a-t-il entre toutes ces méthodes et avec les anciens procédés? Telle est la question que je me suis posée [210], et j'ai montré qu'on pouvait envisager certaines séries qui embrassent pour ainsi dire toutes ces méthodes. En groupant les termes d'une certaine manière, on retombera sur les anciennes méthodes. Avec d'autres modes de groupement, on tombera sur la méthode de Newcomb, ou bien encore sur celle de Bohlin.

Tous ces procédés s'appliquent naturellement à la Lune. Dans la théorie de cet aslre, ils sont même plus nécessaires que partout ailleurs. C'est dans les théories lunaires les plus récentes, comme celles de Hill et de Brown, que l'on voit le mieux l'importance des solutions périodiques dont j'ai parlé plus haut. J'ai donné [214] une mélhode pour déterminer le mouvement du périgée de la Lune qui diffère de celle de Hill. Mais j'attirerai plutôt l'attention sur un autre Mémoire [216] où j'applique à notre satellite les procédés du Mémoire [208]. Ces procédés seraient surtout utiles pour obtenir un dévelop-

8 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

pement purement littéral des coordonnées de la Lune. J'ai signalé eu passant diverses circonstances curieuses et presque paradoxales.

Toutes les séries tlont je viens de parler ne peuvent être employées qu'au point de vue du calcul formel et par conséquent du calcul approché. J'ai insisté à diverses reprises sur ce point important [ 183, 278, 279, 158, 159].

Toutes ces méthodes si diverses peuvent être employées pour se servir mutuellement de vérification, sans trop de calculs supplémentaires. Je citerai surtout un procédé de vérification fondé sur l'emploi des invariants inté- graux [l-i9).

XXI. — Équilibre d'un flmde en rotation et figure des planètes [54, 56,63, 72,91, ',i5, 96, 108, 111, 203,212].

Je me suis occupé également d'une autre question de Mécanique céleste que l'on peut énoncer ainsi :

Une masse fluide homogène ou hétérogène est animée d'un mouvement de rotation autour d'un certain axe. De plus, ses molécules s'attirent d'après la loi de Newton. Quelles sont les formes d'équilibre qu'elle peut affecter?

C'est là un problème qui a beaucoup occupé les géomètres depuis plus d'un siècle et demi, et dont l'importance se comprend sans peine.

Dans le cas de l'homogénéité, auquel nous nous restreindrons, deux solutions étaient depuis longtemps connues : l'ellipsoïde de révolution et l'ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi. Mais les conditions de stabilité de l'équilibre n'avaient pas été étudiées.

On ignorait s'il y avait d'autres formes possibles quand M. Mathiessen et, après lui. Sir W. Thomson, annoncèrent l'existence de figures annulaires d'équi- libre. Mais la démonstration donnée par ces deux savants n'était pas parfaite- ment rigoureuse; d'ailleurs, M. Mathiessen supposait a priori que la section différait très peu d'une ellipse. J'ai montré [63] que cette hypothèse, légitime quand la section de l'anneau est très petite, est erronée dans le cas général, ce qui rend très douteuse l'existence de certains anneaux très aplatis que le savant de Rostock avait appelés anneaux p.

J'ai donc cru nécessaire de faire une étude plus approfondie de ces figures [S4, 94, 95]. J'ai mis à l'abri de toute objection la démonstration de leur existence et montré comment on peut en déterminer les principaux éléments avec une approximation indéfinie.

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 9

Pour la détermination de ces cléments, j'ai fait usage d'une méthode que M"° Kowalevski avait déjà employée dans son Mémoire sur l'anneau de Saturne et qui est fondée sur le développement des périodes d'une fonction elliptique en séries ordonnées suivant les puissances croissantes du module.

Il convient d'observer que ces anneaux sont des figures d'équilibre instable.

Dans un Mémoire plus étendu [72], j'ai repris la même question, en déve- loppant les résultats obtenus dans deux Notes antérieures [56]. Une première difficulté se présentait sur ma roule. Quand il s'agit d'intégrer de simples équa- tions difTérenlielles, la méthode des approximations successives est parfaitement justifiée, parce que l'existence de l'intégrale a été tout d'abord rigourement démontrée. Il n'en est plus de même dans le problème actuel qui est beaucoup plus compliqué; il peut rester au sujet de la légitimité de celte méthode quelques doutes qu'il s'agissait d'abord de dissiper. Pour démontrer rigoureu- sement l'existence des diverses solutions du problème, j'ai employé un procédé tout à fait analogue à celui dont j'avais fait usage dans mes recherches sur les solutions périodiques du problème des trois corps et où je prends pour point de départ un théorème de M. Kronecker.

On reconnaît d'abord que les diverses figures d'équilibre d'une masse fluide forment des séries linéaires; dans une même série, ces figures dépendent d'un paramètre variable. Telles sont la série des ellipsoïdes de révolution et celle des ellipsoïdes de Jacobi. Mais il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries différentes. C'est alors une C\^\ire à^ équilibre de bifurcation.

A chaque figure est attachée une suite infinie de coefficients, que j'appelle coefficients de stabilité, parce que la condition de la stabilité est qu'ils soient tous positifs. Quand un de ces coefficients s'annule, c'est que la figure correspondante est de bifurcation.

Ainsi, si en suivant une série de figures d'équilibre on voit s'annuler un des coefficients de stabilité, on saura qu'il existe une autre série de formes d'équi- libre à laquelle appartient la figure de bifurcation.

Un autre résultat, c'est que les deux séries linéaires dont celte ligure fait partie échangent leur stabilité. Si, en suivant l'une des séries, on ne rencontre que des équilibres stables jusqu'à la figure de bifurcation, on n'y trouvera plus ensuite que des figures instables. Les figures stables appartiendront à l'autre série.

Ces principes, appliqués à divers problèmes déjà traités par Laplace, m'ont permis d'en compléter la solution.

H. P. — vit. 2

10 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

Poiii- li'oiivor li's fornii's d'cHiuilibre d'une masse tluide on rotation qui diffèrent peu d'un ellipsoïde, il faul rechercher si, parmi les ellipsoïdes de révolulioa et ceux de Jacobi, il y a des (igurcs de bifurcation. Pour cela il faut calculer les coeflicients de stabilité de ces ellipsoïdes. On trouve que ces coefli- cients dépendent des fonctions de l^amé.

J'ai donc dû faire de ces fonctions une étude approfondie. J'ai démontré d'une manière nouvelle que ces poljnomes ont toutes leurs racines réelles et j'ai étudié la manière dont ces racines se répartissent.

En égalant à zéro les divers coeflicients do stabilité, on obtient des équations qui sont transcendantes, mais qui peuvent néanmoins se discuter d'une manière complète. Cette discussion montre que, parmi les ellipsoïdes de révolution, comme parmi les ellipsoïdes de Jacobi, il j a une inimité de figures de bifurcation.

Il résulte de là qu'il y a d'antres formes d'équilibre que les ellipsoïdes et les anneaux. Ces figures nouvelles sont en nombre infini; elles sont convexes et ont toutes un plan de symétrie. Quel([ues-unes n'en ont qu'un; d'autres sont de révolution; d'autres enfin ont plusieurs plans de symétrie passant par l'axe.

Il restait à étudier les conditions de stabilité de l'équilibre. J'ai distingué, à l'exemple de Sir W. Thomson, la stabilité séculaire, qui subsiste lorsqu'on tient compte de la viscosité, el la stabilité ordinaire, qui n'a lieu que lorsqu'on néglige celle résistance. En ce qui concerne la première de ces stabilités, j'ai montré qu'elle appartient aux ellipsoïdes de révolution, moins aplatis que celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi, et que les ellipsoïdes de Jacobi, qui satisfont à une certaine condition, en jouissent également. Les autres ellip- soïdes sont instables et il en est de même des figures annulaires. Quant aux autres figures nouvelles que j'ai découvertes, elles sont toutes instables, à l'exception d'une d'entre elles qui est pour ainsi dire pirifcirme.

J'ai donné aussi une méthode pour déterminer les conditions de la stabilité ordinaire, mais je n'en ai fait qu'une application partielle qui permet, toutefois, de reconnaître que cette stabilité peut subsister quand la stabilité séculaire a cessé.

.le ne puis d'ailleurs mieux résumer tous ces résultats qu'en faisant l'hypo- ihèse suivante :

Imaginons une masse fluide se contractant par refroidissement, mais assez lentement pour rester homogène et pour que la rotation soit la même dans

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 1 I

loules ses parties. D'abord 1res voisine d'une sphère, la figure de celle masse deviendra un ellipsoïde de révolution ([ui s'aplatira de plus en plus; puis, à un cerlaiu moment, se transformera en un ellipsoïde à trois axes inégaux. Phis tard, la figure cessera d'élre ellipsoïdale et deviendra piriforme, jusqu'à ce qu'enfin In masse, se creusant do plus en j)lus dans sa partie médiane, se scinde eu deux corps distincts et inégaux.

L'hypothèse qui précède ne peut certainement s'appli(juer au système solaire. Quelques aslronomcs ont pensé qu'elle pourrait être vraie pour certaines étoiles doubles, et que des étoiles doubles du type de (3 de la Lyre présenteraient des formes de transition analogues à celles dont nous venons de parler.

Dans un de ces Mémoires [9i]i j ai montré qu'aucune forme d'équilibre stable n'est possible si la vitesse de rotation dépasse une certaine limite.

On peut faire de ce principe une application aux anneaux de Saturne. Clerk Maxwell a démontré que ces anneaux ne peuvent être solides et que, s'ils sont fluides, leur densisé ne peut dépasser les 3/ioo de celle de la planète. D'autre part [96], je démontre que, si les anneaux sont fluides, ils ne peuvent être stables que si leur densité est supérieure au 1/16 de celle de Saturne. L'analyse semble donc confirmer l'hypothèse de M. Trouvelot, qui considère les anneaux comme formés d'une multitude de satellites extrêmement petits et ne croit pas pouvoir expliquer autrement certaines apparences observées.

J'ai donné [108] une démonstration plus simple d'un théorème de M. LiapounofT, en vertu duquel la sphère correspond au maximum de la fonction potentielle, et je suis encore revenu à diverses reprises sur des ques- tions analogues [111, 212] en donnant quelques égalités et inégalités curieuses.

M. Radau avait remarqué qu'aucune hypothèse ne peut rendre compte à la fois de l'aplatissement adopté et la valeur observée de la précession. Dans deux articles consacres à la figure de la Terre [203], j'ai confirmé la conclusion de M. Radau.

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

BIBLIOGRAPHIE DES TRAVAUX DE MÉCANIQUE CÉLESTE

RELATIVK A L'ANALYSE DE SES TRAVAUX I>ab Hiînri l'OlNCARÉ.

XVII. — Généralités sur les équations de la Dynamique

ET DE LA mécanique CÉLESTE.

fl64] Sur une forme nmn'elle des équations du problème des trois corps (C R.

Acad. Se, t. I"2;?, 1896, p. i()3i-lo35). [16GJ Sur la méthode de Bruns (Ibid., t. 123, 1896, p. 1224-1228). [183] Sur les problèmes des trois corps et les équatious de la Dynamique {Acta

Math., t. 13, 1890, p. 1-270). [ 187] Sur une forme nouvelle des équations du problème des trois corps {Bull, astron.,

t. 1-4, 1897, p. 53-67). [278, 280] Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I (1892) et t. III (1899),

Paris.

XVIII. — Problème des trois corps; propriétés qualitatives.

[38] .Sur certaines solutions particulières du problème des trois c>rps (C, R. Acad.

Se, t. 97, i883, p. 251-252). [92] Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps {Bull, astron.,

t. I, iS8j, p. G5-74)- [1C3] .Sur les solutions périodiques et le principe de moindre action {C . R. Acad. Se,

t. 123, 189(5, p. 915-918). [167] Les solutions périodiques et le principe de moindre action {Ibid., t. 124, 1897,

p. 713-716). [1*3] Cf. supra.

[204] Sur le problème des trois corps {Bull, astr., t. S, 1891, p. 12-24)- [278, 280] Cf. supra.

XIX. — Problème des trois corps; développements approchés et applications.

[47] .Sur une équation différentielle {C. R. Acad. Se, t. 98, 1884, p. 793-795). [97] Sur une méthode de M. Lindstedt {Bull, astron., t. 3, 1886, p. 57-61). [11b] Sur les séries de M. Lindstedt {C. R. Acad. Se, t. 108, 1889, p. 21-24). [133] Sur l'application de la méthode de M. Lindstedt au problème des trois corps

{Ibid., t. 114, 1892, p. i3o5-i3o9). [149] Sur un procédé rie vérification, applicable au calcul des séries de la Mécanique

céleste (Ibid., l. 120, 189J, p. 57-59). [138] Sur la divergence des séries de la Mécanique céleste {Ibid., t. 122, 1896, P- 497-499)-

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. l3

[159] Sur la divergence des séries trigonométrîques {Ibid., t. Mi, 1896, p. 557-559).

[183] Cf. supra.

[208] Sur IHntégration des équations du problème des trois corps {Bull, asiron.,

t. 14, 1897, p. 241-270). [210] Sur la façon de grouper les termes des séries trigonométriques qu'on rencontre

en Mécanique céleste {Ibid., t. 13, 1898, p. 289-810). [214] Sur le mouvement du périgée de la Lune {Bull, astron., t. 17, 1940, p. 87-104). I 213] Sur le déterminant de Hill {Ibid., t. 17, 1900, p. i34-i4-^)- [2IG] Sur les équations du mouvement de la Lune {Ibid., t. 17, 1900, p. 167-204). |279] Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique céleste, t. II, Paris, i8g3.

XXI. — EoUILIDRE d'un FLIIDE EN ROTATION ET FIGURES DES PLANÈTES.

[3i] Sur Véquilibre d'une masse Jluide animée d'un mouvement de rotation (C.B.

Acad. Se, t. 100, i8S5, p. 346-348). [SG] Id., (Ibid., t. 100, iS8J, p. 10G8-1070 et t. 101, i885, p. 307-809). [63] Sur l'équilibre d'une masse Jluide en rotation {Ibid-, t. 102, 1886, p. 970-972). [72] Sur Véquilibre d'une masse Jluide animée d'un mjuvement de rotation

{Acta Math., l. 7, i885, p. 269-380). [94] ]d.,(Bull. astron., l, 2, i885, p. 109-118). [95] Id., (Ibid., t. 2, i885, p. 4o5-4i3).

[9G] Note sur la stabilité de l'anneau de Saturne (Ibid., t. 11, i885, p. 5o7-5o8). [108 j Sur un théorème de M. LiapiunoJJ', relatif à l'équilibre d'une masse Jluide

{C. B. Acad. Se, t. 104, 1887, p. 622-625). [III] Sur l'équilibre d'une masse hétérogène en rotation {Ibid., t. lOG, 188G,

p. 1571-1574). [203] Sur la figure de la Terre (Bull, astron., t. 6, 1889, p. 5-ii et 49-Go). [212] Sur l'équilibre d'un Jluide en rotation {Ibid., t. 16, 1899, p. 161-1G9).

Le présent Volunie contient tous les Mémoires mentionnés ici, ;i l'exception de ceux portant les n"" 96, 203, 2I'4., 21."), 216, qu'on trouvera dans le Tome VIII des Œuvres. Il contient aussi ceux que II. Poincaré a publiés depuis 1901, époque à laquelle remonte son Analyse. L'ordre que nous avons adopté pour la publication est très sensiblement celui que E. Lebon a fixé dans la bibliographie se trouvant dans son Volume : Savan/s du jour : Henri Poincaré, 2'' édition, Paris, 1912; toutefois, les Mémoires qui figurent à cette bibliographie dans la Section Séries de la division Mécanique céleste sous les n"'* 10, 13, 11, 12 ont paru antérieure- ment dans les OEuvres : les deux premiers dans le Tome I, pages 162 et i64, les deux autres dans le Tome IV. Ils n'ont pas été reproduits, pages 585 et 588. (J. L. )

SUR

L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE AiM3IÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 100, p. 346-3^8 (9 février i885).

Dans la deuxième édition de leur Traité de Philosophie naturelle, MM. Tail ol Thomson énoncent sans démonstration le résultat suivant, au sujet de la figure d'équilibre d'une masse (luide homogène, dont toutes les molécules s'attirent suivant la lf)i nevvtonienne et qui est animée d'un mouve- ment de rotation autour d'un axe. Outre les figures ellipsoïdales bien connues, il j a, d'après les géomètres anglais, une autre forme d'équilibre, qui consiste en une surface annulaire de révolution analogue à un tore.

.Fe suis parvenu à retrouver la démonstration du résultat de MM. Tait et Thomson en m'appujanl sur le principe suivant, qu'il est aisé d'établir rigoureusement :

Si un système quelconque, on équilibre stable sous l'action de certaines forces, vient à être soumis à des forces perturbatrices infiniment petites, il y aura, pour ce nouvel état de forces, une nouvelle position d'équilibre stable infiniment voisine de la première.

.J'ai cherché ensuite à déterminer les principaux éléments de la surface annulaire d'équilibre. A cet effet, j'ai choisi les unités de masse et de temps de telle façon que la densité de notre masse fluide soit égale à i et que l'unité de force soit l'allraclion nevvtonienne de deux unités de niasse à l'unité de dislance. C'est ce qui est le plus convenable dans une étude théorique.

J'appelle Ii la distance du centre de gravité de la section méridienne à l'axe

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. i5

de révolution. La section méridienne admet un axe de symétrie qui est la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur l'axe de révolution. J'écrirai l'équation de cette section méridienne, en prenant pour pôle le centre de gravite, et pour axe polaire l'axe de symétrie. L'équation s'écrira alors

p = r -H fi cos 2 o -I- Y cos 3 9 -i- . . . ,

r, 6 et y étant des constantes telles que les rapports i, , !^, -^, ... soient très petits.

Cela posé, j'ai négligé d'abord (3, y, ... de façon que la surface se réduise à un tore de rayons R et /•, et j'ai cherché à exprimer le potentiel V en un point quelconque de la surface du tore. J'y suis arrivé à l'aide des séries qui donnent les périodes K cl K.' d'une fonction elli[)tique, développées selon les puissances de A"- et de logA". < )n trouve que \^, qui ne dépend évidemment que de l'angle 9,

r R

peut se développer suivant les puissances de ;•, de jj > de log - et de cos(p. Les

coefficients de cette série s'expriment par des intégrales définies.

Si l'on tient compte des quantités appelées plus haut j3, v, ..., on devra ajouter à V certains termes correctifs. Il faudra enfin disposer de la vitesse angulaire w et des coefficients 3 et y, de façon que l'expression

. V H ( R -I- s cos i )'-

soit indépendante de 9. (3n trouve ainsi (')

'"-=2 R-^r^--^)

en négligeant des termes de l'ordre de ,tt, log .

On obtient de même

6 H , 8 R ,, r^ ■^=T6R^'"S^^'^R^'

K étant une constante numérique qui s'exprime par une intégrale définie.

Les autres coefficients y, 5, . . . sont infiniment petits par rapport à p, de sorte que la section méridienne peut être assimilée à une ellipse dont l'aplatis-

•. 5w- sement serait — — . 4;i

(') Cette formule et les suivantes ont été légèrement modillées par H. F'oincaré. lo/r ci-après, p. 23, et aux Notes, Figures annulaires. (J. L.)

i6 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

Le moment de la qunnlilé de mouvement est appioxiinalivement

2 T.'- ,-■' IV J\ log ^^ = M r R J\ log ^ ,

M désignant la masse du fluide.

La même méthode pourrait s'appliquer à une autre solution du même problème, énoncée également sans démonstration par MM. Tait et Thomson et où la masse fluide se répartit en plusieurs anneaux concentriques.

Je n'ai pu encore approfondir la question de la stabilité de ces masses annulaires. J'ai fait seulement, en passant, une remarque que je crois nouvelle.

Si la vitesse angulaire rsi est supérieure à y/27: (avec les unités adoptées), il n'y a plus pour la masse fluide aucune lîgure d'équilibre stable possible.

SUR

L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE ELUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION ^

Bullclhi rixlioiiomiquc. 1. ',', p. 109-1 in (mars i885j.

On s'est préoccupé depuis loagtemps de déterminer ies figures d'équilibre d'une masse fluide homogène donl toutes les molécules s'allirenl d'après la loi newtonienne et qui est animée d'un mouvement de rotation autour d'un axe. On est même arrivé assez promplement à deux solutions du problème, les ellipsoïdes de révolution et les ellipsoïdes de Jacobi; mais on ignorait jusqu'à ces derniers temps s'il existait d'autres figures d'équilibre possible. Dans la dernière édition de leur Traité de Philosophie naturelle (1''' vol.. Il" Part., p. 332), MM. Tait et Thomson ont énoncé sans démonstration un certain nombre de résultats fort intéressants. Ils annoncent, par exemple, trois classes nouvelles de figures d'équilibre, à savoir :

1" Un système de deux ou plusieurs masses sphéroïdales, animé d'un mou- vement de rotation commun autour d'un certain axe dans l'espace. a° Une surface annulaire de révolution, analogue à un tore.

(') Je viens de recevoir coinmu:ucation d'un Mémoire de M'"» de Ko\v.Tlewski dont je n'aviiis pas connaissance au moment où j'ai rédigé le présent travail. Ce Mémoire, intitulé Zusdtze und Bemerkungen zu Laplace's Untcrsuchung iiber die Gestalt der Saturnsringe, a été écrit en i8-| et envoyé à cette époque à l'Université de Goltingeu; mais il vient seulement d'être imprimé dans le n° ÎGiS des Astronomis'he Nachrichten. Bien que le problème traité par la savante mathématicienne ne soit pas tout à fait le même que celui dont je me suis occupé, son analyse se rapproche beaucoup de la mienne et je n'ai ,ijouté que peu de chose aux résultats qu'on pourrait facileinenl déduire de son Mémoire.

II. P. - VU. 3

i8 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

y Un sysléme de plusieurs anneaux concenlriques, animés d'une même vitesse de rotation autour de leur axe commun.

.le n"ai rien à ajouter sur la première solution, qui est celle à laquelle on est conduit en envisageant le système d'une planète et d'un satellite dont l'excen- Iricité serait nulle et dont les deux vitesses de rotation seraient égales entre elles et à celle de révolution; ou bien encore le système de plusieurs masses se mouvant en restant en ligne droite, conformément au principe du Chapitre VI du livre X de la Mécanique céleste de Laplace.

Mais je crois utile de revenir sur la deuxième solution, en donnant une démonstration du résultat de MM. Tait et Thomson et en cherchant à déter- miner approximativement les principaux éléments de la figure annulaire d'équilibre.

Dans des questions de cette nature, on ne peut compter sur les méthodes d'approximation successive pour démontrer rigoureusement la possibilité d'une solution. Il faut au contraire faire usage de considérations de continuité, ainsi que je l'ai fait dans ma Note sur certaines intégrales particulières du problème des trois corps (' ). L'existence de la solution une fois rigoureusement établie, on se sert ensuite des méthodes habituelles pour la calculer approxi- mativement.

.le choisirai les trois unités fondamentales de longueur, de temps et de massse de telle façon que la densité de la masse fluide que je considère soit égale à i et que l'unité de force soit l'attraction newlonienne de deux unités de masses à l'unité de dislance. J'envisagerai une figure annulaire de révolution très peu dillérenle d'un tore. J'appellerai Pi la distance du centre de gravité de la section méridienne à l'axe de révolution. Je supposerai de plus que la perpendiculaire abaissée sur l'axe de révolution de ce centre de gravité soit un axe de symétrie de cette section méridienne.

Il reste à écrire l'équation de la section méridienne. Pour cela je prendrai pour pôle le centre de gravité et pour axe polaire l'axe de symétrie de celte section, et j'aurai pour celle équation, en appelant p et cp les coordonnées polaires, (^)

P z= r -i- 'iii COS 2 tp -H [i3 COS 3 9 -<-... -I- pn cos /l Ç -J- . . .

(') Œuvres de H. Poincaré, ce Tome, p. 35.?. f) Voir aux Notes, Figures nnnu/aires.

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. ig

Je supposerai que les rapports ^ > ^' sont très pelils, ainsi que la vitesse

angulaire de rotation '>k

J'envisagerai le potentiel V et l'énergie potentielle W :

r<lin rdmdm

dm ei dm' désignant deux éléments de masse de notre lluide, A étant la distance de l'élément dm au point P dont les coordonnées sont a-, y et z, et o étant la distance des deux éléments dm et dm'. Le potentiel V est une fonction de x, r et ;, tandis que W est une constante qui ne dépend que de la forme de la surface.

Pour que la surface soit une iigure d'équilibre, il suffit que l'expression

2

où I est le moment d'inertie de la surface par rapport à son axe de révolution, voie s'annuler toutes ses dérivées premières par rapport à Pi et aux |'b.

Etudions donc les variations de cette expression quand on fait varier o), ;•. R, et les |3„, et montrons que ces dérivées devront s'annuler pour des valeurs de ces quantités variables satisfaisant aux conditions de grandeur relative que nous nous sommes imposées.

Soient dS et dS' deux éléments <le l'aire de la section méridiennii, y ely' les distances de ces éléments à l'axe de révolution. Ces éléments engendreront par leur révolution deux anneaux infinitésimaux dont les niasses seront

•i = 2-Kjdii el 2 t: y' dS' = }J.' ■

Soient a et 6 la pins petite el la plus grande distance de ces deux anneaux infinitésimaux, M(«, b) la moyenne arithmético-gcomélrique de Gauss de ces deux distances. L'énergie potentielle provenant de l'attraction mutuelle de ces deux anneaux s'écrira

|JI[X' [jiijl' J

où

,/z a-

=/'

\Jz{i-z){z-

b'-

La théorie des fonctions elliptiques nous enseigne que, lorsque x est très petit, J peut se mettre sous la forme

z (x) log.r -I- '\i( r ),

20 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

9 el •]> étant des séries ordonnées suivant les puissances de x et dont il est aisé de calculer les coefficients. Le terme de degré le moins élevé dans cette expres- sion est — losf ~, • Nous aurons ° i6

W = //' ^^'^ = II',:: v/— .1 ./S ./S'.

Si l'on réduisait \/Yy' à sa valeur approchée H, et J à sa valeur approchée

trouverait

log — ou encore 2 log — > on trouverait

W

Nous pourrons donc poser

W = 4:t /^R log — rfS </S'h- \V , W r

le rapport -^ étant de même ordre de grandeur que „ ■ On trouve, d'autre part, sans trop de difficultés,

'\ll f^^os-d^d> = -^^ (log— + - j + -__ vp^_ _,j^w ,

W" contenant en facteurs des puissances supérieures des (3. Pour le moment d'inerlie I on trouve

I = irtî/ir-iR^-i-^RrA-t- V .

1' s'annulant avec les p.

Nous poserons, pour abréger

w^-^

1

Pour qu'il y ait équilibre, il suffit que, pour toute déformation virtuelle infiniment petite de notre surface, la variation ôU soit nulle. Or toute défor- mation virtuelle peut être considérée comme la somme de deux autres que nous pourrons étudier séparément.

Dans la première déformation, R reste constant. La variation âU dépend alors des variations des quantités (3. Si, d'autre part, nous appelons M la masse totale de notre fluide, nous aurons

m = ..=r(,-^^5;M)

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. Il suit de là que, si R est constant, il devra en être de même de

On peut donc écrire

'°s— ^-P'■^(«-■-l°»77)-^T'"-*-^•

^ = -'■"^

Dans cette formule on a posé

/. = 8e*". Io= zî /2/-§R3h- - RrJ V

et le rapport yy est infiniment petit.

Soit Uy la valeur de U quand on y annule tous les (3; soit Ui la valeur de U quand on donne aux p des valeurs telles que

K étant une quantité très petite, mais d'ordre moindre que jy On trouve alors

U,-Lio= AK + U', -U'o,

A étant un coefficient négatif dépendant de R et de r^- On en déduit, en tenant compte des hypothèses faites sur les grandeurs relatives des quantités K et U' :

U, < U„.

D'où cette conséquence, que, si l'on fait varier les [3 d'une manière continue, la quantité ipi ne pourra devenir plus grande que Kr^, sans que U passe par une valeur inférieure à Uo; ce qui prouve que la fonction U doit admettre un maximum pour des valeurs des p inférieures àr„\/K et par conséquent très petites. Ce maximum que j'appelle u est fonction de R, /'„ el co.

U reste à étudier la deuxième espèce de déformation de la surface annulaire, pour laquelle R et par conséquent ro varieraient pendant que la section méri- dienne resterait semblable à elle-même. Il faut montrer qu'on peut trouver des valeurs de R et des (3, telles que la variation ôU soit également nulle pour les deux espèces de déformations, c'est-à-dire que l'on ait à la fois

Or il est aisé de vérifier l'égalité

dV M^ I , Â'R

rfR=-8r. Rl'°S— +co^MR + H,

aa SUR L'EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

H représentant un ensemble de termes négligeables devant les deux termes conservés et À' une constante facile à déterminer.

Supposons que, R restant conslnnl, on fasse varier oo; u sera alors une fonction de (o, mais pour des valeurs suffisamment grandes de o (lesquelles satisfont pourtant aux conditions de grandeur relative que nous nous sommes

imposées) -^ sera certainement positif, et pour des valeurs assez petites de w,

-j|j sera certainement négatif. Donc, à chaque valeur de R correspond une

valeur de w telle que l'on ait à la fois

y = u, -j=- = o. c. 0- r- !>•

«R

L'existence de la forme annulaire d'équilibre étant ainsi rigoureusement établie, il nous reste à en déterminer approximativement les éléments. A cet efl'et, nous abandonnerons la fonction VV dont nous nous sommes servis jusqu'ici pour considérer le potentiel V.

Je considère d'abord le tore et j'étudie l'expression du potentiel V en un point de sa surface; ce potentiel est évidemment une fonction de l'angle tp qui définit la position du point de la surface sur la section méridienne. En partant de l'expression que j'ai donnée plus haut pour l'intégrale J, je suis arrivé à montrer que V pouvait se mettre sous la forme ( ' )

= r- l i„ -

l'i In?

v„ et Vi étant des séries ordonnées suivant les puissances de j, et de coscp.

Les coefficients de ces séries s'expriment par des intégrales définies et les

premiers termes sont

„ , 8R on r- ;: r-' , SU

V = ;: /■- log h ^ -=7 CCS 9 -=r cos <p log h. . .

^ r i6R 2R ^ " r

Il faut ensuite introduire dans celle expression les termes correctifs qui proviennent des coefficients que nous avons appelés P, c'est-à-dire que nous devons maintenant tenir compte de ce fait que notre figure annulaire n'est pas exactement un tore. Comme on voit sans peine que les coefficients (3,, (î-, , . . . sont très petits par rapport à p^, nous négligerons ces coefficients ainsi que le carré de (5.j.

Cl Voir aux Notes, Figures nnnulairrs.

SUR L'EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 23

Les termes correctifs que nous nous proposions de calculer se réduisent alors à

■ L'OS 2 C.

2

L'expression du potentiel V étant ainsi corrigée, nous pouvons écrire les conditions d'équilibre. r_,a condition nécessaire et suffisante est, en effet, que l'expression

\ (H -h rcosz -h % cos 2 o cos o ■+- m cos 3 ç cos o -t- . . . )

soit indépendante de l'angle cp. Dans l'expression précédente nous négligerons

/'■' o

tous les termes qui contiennent en facteur - ou jS:,, (3,, . . . , ou (3;, ou o)'-p2. Elle ne contiendra plus alors que des termes en coscp ou cos2(p. Egalons à zéro les coefficients di' cusç» et cos2œ. Nous obtiendrons les deux équations suivantes :

2 R ^ ;■ i6 I!

cj'- ;cB.>r /•'• in /•■' , 8 H

g étant exprimé par une intégrale définie.

On lire de là les valeurs approximatives de oj- et de pj :

- =-v, lo.s l) et

2 R2 \ ■ /• 8 /

j /-^ , AR 76Ri'°« — '

h étant une constante numérique exprimée par une intégrale définie.

On voit ainsi que la section méridienne peut être assimilée à une ellipse dont

l'aplatissement est approximativement -j—- Quant au moment de la quantité de

JOJ-

mouvement, il a pour valeur asymptotique

/■

M.-RV'^(.og^-i)

ce qui montre que ce moment croît indéfiniment quand R croît lui-même, tandis que la vitesse angulaire tend au contraire vers zéro.

Les mêmes méthodes sont applicables à la troisième solution de MM. Tait et Thomson, qui est celle où la figure d'équilibre est formée de plusieurs anneaux concentriques. L'existence de la solution se démontrerait comme plus haut. Nous allons chercher à en déterminer les éléments.

Nous prendrons seulement deux anneaux que nous assimilerons à des tores

24 SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

de ravoas r el R , ;• et R, en négligeant les aplatissements des sections méri- diennes. Ces deux lores devront avoir un plan de symétrie commun, perpendi- culaire à l'axe. IN'ous appellerons o l'angle que fait avec ce plan de symétrie le rayon qui joint un point M de la surface du tore au centre de la section méridienne correspondante; nous appellerons de même o' l'angle analogue pour le second tore. Nous supposerons R > R'. Nous appellerons \u le potentiel en un point de la surface du premier tore et V'„ la valeur du potentiel en un point de la surface du second tore. Nous trouverons, en nous bornant aux premiers termes :

,., .SR r. r- ,/, 8R' qX ., is H - r'- r coi t.

N, = .r-log— --^,eosç(^log— -.^^.rMog^--^-^ R-R '

Soient u et w' les vitesses de rotation des deux tores ; il faudra pour l'équilibre que les deux expressions

Vo -I ( R -H r cos 3 ). V'o H — — ( R' -f- r cos :' i

soient indépendantes de o et o'. ce qui nous donne les deux équations

n/-3 >. ij r.r-r

w- t\ r — — — log — ■; T—, = o

2R " r H — R' / , _^\

Si l'on veut que oj = '»', il faut donc que l'on ait

.M = .= rr'(R_R;(^log-.-^log — j,

M étant la masse totale du fluide. Cette équation montre que R — R' doit être très petit par rapport à R, ou bien que l'on doit avoir approximativement

r r R ^ F'

Si en effet R — R' n'est pas très petit par rapport à R, le produit --rr'(R — R') est de même ordre de grandeur que r-R, W-R', où M, et par conséquent le dernier facteur du second membre, doit être fini.

Je réserve pour un article ultérieur la discussion de la stabilité de ces figures d'équilibre. Je me bornerai, pour terminer, à faire la remarque suivante qui. malgré sa simplicité, n'a pas été faite encore à ma connaissance.

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. 25

Si la vitesse angulaire 'jj dépasse une certaine limite, il n'v a aucune figure d'équilibre stable possible (').

En effet, pour que l'équilibre soit stable, une condition nécessaire, mais non suffisante, c'est que la résultante de l'attraction et de la force centrifuge, qui doit être normale à la surface d'équilibre, soit dirigée vers l'intérieur de la masse.

Soient V le potentiel dû à l'attraction, 'ai la vitesse angulaire, /• la dislance à l'axe, et posons

2

Les composantes de la force seront -3-1 -j-i -j^ et la force estimée suivant la

normale -;— • On aura d'ailleurs dn

I ,/ïC; r/ti' ^-\' ritx ,jt\-

- -f- 2 0»'.

d--\	d'- L d- 1	d-y	d-\	d-\
				-, !- ■> W- —
dx-	dv'- dz'-	dx'-	dv^-	dz-

Le théorème de Green donnera donc

/^^... = M(2M-i..

l'intégrale étant étendue à tous les éléments de la surface d'équilibre. Si

donc 'jj>y/2-, l'intégrale sera positive; il sera donc impossible que -3— soit toujours négatif, ce qui est nécessaire pour que la résultante de toutes les forces soit toujours dirigée vers l'intérieur de la masse. L'équilibre stable est donc impossible. c. p. r. d.

\'oir aux Notes, A/asses fluides en rotation 1 résultats dûers •

H. P. — VII.

SUR

L'ÉOUILIBHE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Bulletin (islroDomique, t. '2, p. 4o5-4'3 (septembre i885).

Dans le travail que j'ai récemment publié sur le même sujet ('), je n'ai pas donné les détails des calculs. Bien que mou analyse diflere peu de celle qu'à employée M""^ de Kowalewski dans ses recherches sur l'anneau de Saturne, il ne sera peut-être pas inutile de revenir sur ces détails, ne fût-ce que pour faire voir quelles sont les simplifications qui peuvent être dues aux hypothèses que l'on a droit de faire sur l'extrême petitesse de certaines quantités.

Il s'agit d'abord de calculer le potentiel du tore. Soient O le centre du tore, C le centre d'un cercle méridien, M un point quelconque du plan de ce cercle, R la distance OC, oj l'angle du plan OCM avec un plan méridien fixe, x cl y les coordonnées rectangulaires du point M rapporté à deux axes passant par le point G, le second parallèle à l'axe du tore. Les coordonnées de M rapportées à trois axes rectangulaires dans l'espace seront alors (R + .z')cosw, (R + a;) sinoo et r.

Nous poserons de plus

A = p cos cp, .K = p sin ç

et nous appellerons r le rayon du cercle méridien du lore, de telle sorle que l'équation du tore, dans ce système particulier de coordonnées, se réduira à 0 = r.

f'j Bulletin aslronomiqut:, t. 2, p. loj (OEiivrex di' II. Poinrnré, ce Tome, p. t-;).

SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 27

Pour évaluer le potenliel du tore par rapport au point M, nous décompo- serons la surface du cercle nicridiea en une infinité d'éléments infiniment petits d'ji' . CliacuQ de ces éléments engendrera, par sa révolution autour de l'axe, un anneau élémentaire. Soient x' et y' les coordonnées de l'élément dut' rapporté aux deux axes rectangulaires définis plus haut, rf/-/. la masse de l'anneau élémentaire correspondant, dV le potenliel de cet anneau. V le potenliel du tore complet. Soient enfin

a = \l{x — x' )--^ yr — y y-, /' = ^/(2R -I- a: -I- x )- -\- (y — ,l'')-

la plus petite et la plus grande distance du point M à l'anneau considéré, et M(a. b) la moyenne arithmético-géomélrique de ces deux dislances. On trouvera, en conservant les mêmes unités que dans le Mémoire cité,

rfuL = 2 !r( K -I- J-' ) (h')'. f/\ = . . ' '^ , , V = / (/\ .

M('-', b) J

La théorie des fonctions elliptiques nous apprend que l'on a

S„ et S, étant des séries ordonnées suivant les puissances de j- La même

théorie nous donnerait également les coefficients de ces séries; mais je vais indiquer un autre moyen de les calculer.

Soit

I .\o . " Al u- , a B|i Bia^

Vi{,i,b) h "h 6'' "6 b b"-

Remplaçons dans cette identité a par \/ab et b par "— — , il viendra

A^o ,__« A'i a , « B'o B'i a

M i \J.ab, —

= -r log ,- -4- -r-r I02

b\ b "b 62 "b h 6=

Mais on a

M(«, 6) = m(v/«^^')'

Les deux séries doivent donc être identiques; ce qui conduit aux identités

Bo = Aolog4 -^ 2B0, o = — Ao-h 4 A,, o = — 2A0— Ao log4 -+- 4 Ai log4 -- 3B0+ 8B|.

28 SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

On a donc

eu uégligeanl les ternies de l'ordre de ^^ log -•

11 reste à déterminer A,,. Four cela nous appliquerons un cas particulier du théorème de Green, c'est-à-dire le théorème du flux de force. Considérons un cercle de rayon très petit décrit autour de l'élément c?co'. Ce cercle engendrera par sa révolution un tore enveloppant l'anneau élémentaire considéré. En un point de ce tore, a sera très petit et peu différent du rayon du cercle méridien, b diffi'Tcra peu de 2(R-\-x'). La surface du tore sera donc 471"^! (R + ar'); l'attraction exercée par l'anneau c?/jl sur un point du tore différera peu de

A 0 r/'X A 0 '/[J-

ab 2a( l\ ■+- y )

ce qui fait pour le tlux de force — 271- A^ dix. Or ce (lux doit être égal, d'après le théorème de Green, à i^ndiJ.. On a donc

A„ = -^ Nous poserons, pour abréger

^ = :i:-+-x', ^=)_y',

et nous trouverons aisément les développements suivants :

■^_l L + Jl + JL

h 2R 4R2 8R:' 16 R^'' 4R- I 3| 3?2 3^2

b^ 2R 4R2 4R-' 16 RI

i ,0.1^ - _ J_ + ill _ Jl_ 4R: , h " b \K"- 16 R" i6R-i 6^'

log3«- ? ^ 7^= '- -

b 4R= i6R3 t6R-'

En tenant compte de ces développements, on trouve avec le même degré d'approximation que plus haut

; = :rî7 'oSôt; - Toi 'ogrrû JTm ^"Sttts - tâî» '"g^TR -" «ITs ^°=

AoM(a,6)~2R °8R 4R2^2aR 8R3^2fjR 16R' ^2aR HR' =2aR

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 29

On trouve ensuilfi

_ / ■ 4(R^.£')c^cu' 'iY _ _ UH-t-x';

""",' AoM(a.6) ' riV) "" \oM(a. b}'

(.)n en déduit, toujours avec le même degré d'approximation,

J'ai écrit cette dernière formule, pour abréger, en prenant 2R pour unité de longueur, quitte à rétablir plus tard l'homogénéité.

Pour obtenir la valeur de V lui-même, il reste à calculer un certain nombre d'intégrales doubles de la forme suivante :

/

3(./-"', y' ) \tf^ - (/m

étendue à tous les éléments rfu' de la bection méridienne du tore. Une pareille intégrale n'est autre chose que le poleulicl logarithmique du cercle méridien par rapport au point M supposé attiré en raison inverse de la distance, et de telle sorte que la densité de la matière attirante soit égale à ©(a?', y')- Si celle densité est uniforme en tous les points également distants de G, le polenliel est le même que si toute la masse était concentrée au centre G du cercle méridien. On a donc

Siyestnul sur la circonférence du cercle méridien, c'est-à-dire poura;'-'-!- )■'-'= r-, l'intégration par parties donne

On trouve de même

■ ' J dx"'dy "''■•' ^ '' '^^ dx'" dy" " z 7

pourvu que / soit nul ainsi que ses m -\- n — 1 premières dérivées pour r" 4- .r'- = r2.

3o SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Ces formules doniu'nl

/ lus cAo' — -/■- log-- ) J " X a

// '.. '■-,^ 1 "• / - f'* 1 f

(./• --I- )• -) loff— f/to = — loff-) 2 3 2

r / ■■> '.. .,N 1 " J ' ^'■' 1 P I (.!•--(-)- — r-)]0S~dM— 102-5

.' ■ 2 ■> a

J' / '.) '■> ■. \.. 1 " I t ~ '''' 1 P

(./;--i- ) - — /■-)-loj<- (Ao = - - log •

J'appliquerai maintenant la formule (i) en diiférentiant la troisième des inlcgrales précédentes par rapport à x', ou par rapport à i ', et la quatrième deux fois par rapport à r': j'obtiendrai ainsi

X lo" t/M = ) 1 I y \os— av) = ,

X 2 ,- J ' J- 2 p

/'/'., '. ., NI " J / , r -., , '1,1 '^f'' i;0S2Ç

2 ( (.;■ --h 1 ■— /•-) log- aw + 'i / X -^ log- (Ao = ^;

d'où je tire

/ .(• - log- (Im = —^ log -— ,

J a. I « 1 2 p -

/ V - log- dM = — — log- H ^•

..' ' =< I ^ ■- P"

Si nous supposons que le point M est sur la surface du tore de telle façon que 0 = /•, ces formules se simplifieioul un peu, de sorte qu'on aura

■ , , /-/■■> cos ç ffw = - ;■■ OU!- Zi log : ■ i

j^lo,

/, " , , ,, r / S cos2 9\ /i cos 2 s

/„, , « , , ,, r fi C0S2(p\ ,/l 00S2(b\

ÇMog-rfo. = .,'. log-(- - ^j ^r.,-^- - ^^j,

/ a- log - rfio' =--;■' log — h-;-', ^ a 2 X

Toutes ces intégrales sont des fonctions linéaires de cos 9 et COS29; si nous les substituons dans l'expression de V, nous trouverons

V = F -T- G cos 9 -I- H cos 2 ç.

F, G et H étant indépendants de cp; on a, en rétablissant l'homogénéité

2 K >•"■■ , r r.r^ „ 3 n r' , 2 u F!

K " 2 !z H 2 H 2 R- /■

SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 3l

,u étant une constante facile à calculer d'après ce qui précède. Ouant à F, il

n'intervient pas dans la suite et nous n'écrirons que son terme principal qui

2 1 i^ P'

est 2nr^ loe

° r

Supposons maintenant que la niasse considérée, au lieu d'aflecler la forme

du tore dont l'équation était p = ;■, prenne la forme d'une surface de

révolution S, peu différente de ce tore, et ayant pour équation

c = /■ -I- p, COS 2 i -(- 'j3 COS 3 S + . . . -I- [îi COS i Ç -f . . . .

Nous pourrons alors regarder l'attraction de cette masse comme la somme de l'attraction du tore et de la différence entre la surface S et le tore. Nous appellerons ôV le potentiel dû à cette différence, V le potentiel du tore par rapport à un point de sa propre surface, et V + A^' le potentiel du tore par rapport à un point de la surface S, de sorte que le potentiel total par rapport à un point de la surface S sera

V-+-AV + oV= r^do)',

l'intégrale du second membre étant étendue à tous les éléments cIm' de la section méridienne de la surface S. Mais, les (3 étant très petits, nous pourrons, dans le calcul de W et de oV, ne tenir compte que du terme

1 1 'A' • 1 <' AT ■ •

principal de -r—, qui est — 2 'ogs-R* i^ous trouverons ainsi

AV = an/- log 271 r- log — = — 2 ;iri[jjCos jo,

en négligeant les carrés de p. On trouve encore avec le même degré d'approximation

/•

0 V = — 2 r

, ,, Slll

4K 2

^{[iiCOsis')dtf',

si l'on observe que, poui' les éléments de la difl'érence entre la surface S et le lore, on peut écrire

On peut écrire également

SV = - 2 r f lop

. fJ

sin-

2

dut' = r df'^^i COS i<f'

(2|ii,- l'os! 9 cosf Y -t- S fi,- sinif) sint'oi <

3i SUR L ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Ciîtte intéjïrale pout s'évaluer sans peine. Ou a, en ell'et,

1 v^ z" ,, , , I xT'e'"''

Dij — - =7 — ) cl 1111 os 7. = y — 1

OU, en égalant les parlies réelles

1 , . b v^ iju< n 0 log loR sin - = 7

On en déduit

log sin -co«iO = . et, oV = > î-i, i-

2 / .^ t

Il reste donc

V — AV-4-SV= l''-i- Gcojo -I- H ros29 + 27t/-ï: ij-cosj'o ( - — i )•

D'autre part, le potentiel dû à la force centrifuge a pour valeur, en appelant n la vitesse de rotation et en nt^gligeant w'-^

— (K -+- x)- = — ( R-H j -I- «-R7-COSII - j-r- cosaif.

Pour que l'équilibre ail lii'u, il faut que l'expression

V -4- AV -^ 3V -4- ■"-( R -+-xy- 2

soit indépendante de cp, ce qui nionlrc d'abord que, avec le degré d'appro- ximation adopté, tous les (3 sont négligeables, sauf (So, c'est-à-dire que la section méridienne peut être regardée comme une ellipse dont l'aplatissement

r

En égalant à o les coefficients de cos» et cos2o, on obtient les deux équations

( i -I- n- R r = H — - /• i.. -! — 7- r- = o,

'1

d'où l'on tire

et approximativement

. _ 2n-

Ces résultats ne sont pas tout à fait les mêmes que ceux de mon premier travail, par suite d'une faute de calcul que j'v avais commise.

SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 33

Occupons-nous maintenant du cas où la masse fluide est répartie en deux volumes annulaires séparés, peu différents de deux tores. J'appellerai R et r les deux rayons du plus grand de ces deux tores, R' et ;■' les deux rajons du plus petit. Le potentiel, en un point de la surface du premier tore, sera égal au

potentiel dû à son attraction propre, c'est-à-dire à F + Gcoscp (en négligeant

H et les termes du même ordre, c'est-à-dire de même ordre que jt^ log - ) . plus

le poteatiel dû ù l'aLtraclion du second tore, que je puis réduire à son terme

principal, si rp est assez petit. Si l'on observe que la distance d'un point

du premier tore au second est à fort peu prés R — R' -I- /• cosq, on verra que ce terme principal peut s'écrire

SR' , , 8R' 2-r'2rcos3

"K- H'-H/cos? ^H-H' R-R'

Il faut pour l'équililjre que ce potentiel augmenté de — (R-l-j")- soit indé- pendant de <p; on doit donc avoir

an ;-'2 r

G + ^^i^'-RTHr^"-

Si l'on appelle G' et n' les quantités qui sont au second tore ce que G et n sont au premier, on trouvera de même

r-' '.>r>' • 'i-T^I-'-r'

On a d'ailleurs

„ 2 71 r' ,

2Kr^ r 2 Jt /• » r

v étant une constante facile à calculer. Si donc on veut que les deux vitesses de rotation n et n' soient les mêmes, il faut que l'on ait

r- , r r- r' r //'- r' \

En appelant

la masse totale du fluide, nous pouvons écrire

M = 2..RR'(R-R')(glog^-^log-^), ce qui est la formule que j'avais donnée à la fin du travail cité.

HP— VII. 5

SUR

LÉOUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 100, p. 10O8-1070 (20 avril 188Ô).

Une masse fluide homogène dont toutes les molécules s'attirent d'après la loi de Newton, et qui est animée d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe, est susceptible d'une infinité de (igures d'équilibre. Les seules qui aient été signalées jusqu'ici sont l'ellipsoïde de révolution, l'ellipsoïde de Jacobi et les figures annulaires de MM. Tait et Thomson, que j"ai étudiées en détail dans une Note récente, insérée au Bullelin astronomique ('). Mais le problème admet une infinité d'autres solutions.

Je considérerai dos séries linéaires de figures d'équilibre, c'est-à-dire des séries telles, qu'à chaque valeur de la vitesse de rotation corresponde une figure, et une seule, ou un nombre fini de figures, et que ces figures d'équilibre varient d'une façon continue quand on fait varier cette vitesse. Ainsi les ellipsoïdes de révolution forment une série linéaire, les ellipsoïdes de Jacobi en forment une autre. Il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries linéaires. Ainsi il y a un ellipsoïde de révolution qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi.

Je me suis alors proposé de rechercher s'il existe des séries linéaires de figures d'équilibre parmi lesquelles il y en ait une qui se réduise à un ellipsoïde.

(') Œuvres de II. l'oiiiraré, ce l'ome, p. 17.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 35

On arrive aisément au résultai suivant : Soient p, y/p- — b-, \/p- — c^ les trois axes de l'ellipsoïde, et soit R une fonction de Lame quelconque. On devra avoir

Ja W-J(?--—bn(9-—c-) Jn

Réciproquement, on arrive à démontrer que, si, pour une des fonctions de Lamé, les axes d'un ellipsoïde de révolution ou d'un ellipsoïde de Jacobi satisfont à l'équation (i), cet ellipsoïde appartiendra non seulement à la série des ellipsoïdes d'équilibre, mais encore à une autre série linéaire de figures d'équilibre non ellipsoïdales.

J'ai discuté les équations (i) dans le cas des ellipsoïdes de révolution aplatis. Posons

b = o, c = I , p = \ k- + 1 , \\ = {le--^lf -^^—^ (t = o, I, 2, ..., «)•

Nous n'aurons à considérer que les valeurs de n au moins égales à 2. Nous trouverons que l'équation ( i ) n'a pas de racine quand i -'r n est impair et en a une, et une seule, quand «' + /i oil pair. Ainsi à tout système de nombres entiers i et n, tels que

« > 2, i ^ n, î'^o J j ^ « (mod 2)]

correspond une série linéaire de figures d'équilibre. Il faut faire exception pour le cas de i=zo, n ;= 2 ; la racine de l'équation (i) correspondante ne donne pas de série nouvelle de figures d'équilibre. Elle correspond à l'ellip- soïde de révolution dont la vitesse de rotation est maximum. Dans le cas de i := n = 2, on retrouve les ellipsoïdes de Jacobi.

Si t:=o, les figures d'équilibre correspondantes seront de révolution. Elles ne le seront pas dans le cas contraire.

Le même procédé peut servir pour déterminer les conditions de stabilité de l'ellipsoïde de révolution. MM. Tait ol Thomson ont annoncé que les ellipsoïdes de révolution que l'on rencontre, en partant de la sphère et en allant jusqu'à celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi, sont tous stables, et que les autres sont séculairement instables.

Pour établir ce résultat, il suffit de montrer que, parmi toutes les

36 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

équations (i), celle ijiii a la plus grande racine est celle qui correspond au cas de «':::= n = 2, OU bien encore que tous les rapports

[ / E^ /( ( m od a )]

/c^ + I

vont constainiueul en croissant quand /.' croil de zéro à l'infini. ( )r cela est aisé à vérifier.

Il est possible que les séries linéaires de figures d'équilibre que j'ai signalées plus haut contiennent des figures stables; mais il est certain au moins que celles de ces figures qui diffèrent peu de l'ellipsoïde, et qui sont les seules que nous connaissions un peu, sont toutes séculairemeut instables (à l'exception, bien entendu, des ellipsoïdes de Jacobi).

11 y aurait intérêt à répéter, pour les ellipsoïdes de Jacobi, la discussion que je viens de faire pour les ellipsoïdes de révolution, d'autant plus que, parmi les figures d'équilibre que l'on découvrirait ainsi, il y en a qui sont stables. C'est ce que je chercherai à faire dans une Communication ultérieure, si l'Académie veut bien le permettre.

SUR

L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 101, p. 307-303 (27 juillet 188.)).

Dans une Communication faile à l'Académie le 20 avril i885 ('), j'ai montré qu'une masse fluide homogène, soumise à l'allraction nevvtonienne et animée d'un mouvement de rotation, était susceptible d'une infinité de figures d'équilibre, outre celles qui sont déjà connues. J'en al défini un certain nombre qui, sans être ellipsoïdales, difl'èrcnt infiniment peu d'un ellipsoïde de révolution. J'ai montré que ces figures nouvelles étaient instables.

J'ai reconnu depuis qu'il existe également des ellipsoïdes de Jacobi apparte- nant en même temps à une série linéaire de figures d'équilibre non ellipsoïdales.

Soient p, y/p- — u-, y/p- — c- les trois axes de l'ellipsoïde; soitR une fonction de Lamé quelconque de p; soit

dp

S ={2n-hi)l\ f —

V^P-— 6-)(p-— c'^)

la fonction S conjuguée de II d'après la notation de Liouville. Nous distin- guerons les fonctions

ainsi que les fonctions R,, R,, ..., R„, ... définies comme il suit : la

(') QEui'res de H. Poincarè, ce Tome, p. 34.

3S SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

tonclioii R„ sera une fonclion de Lamé d'ordre n ne contenant en facteur ni \'p- — c'-, ni \/p-' — b- et ne s'annulant que pour des valeurs de p- comprises entre zéro el b''. Pour toute valeur n, il j en a toujours une et une seule; Si, So, Sj, . . ., S„ seront alors les fonctions conjuguées de Ri, Rj, . . ., R». Gela posé, tout ellipsoïde de Jacobi satisfera à la condition

fil Si _ R,S, 3 ~ 5 '

s'il satisfait en outre à la condition

Ci') Ri Si __ R/i S„

il appartiendra à la fois à deux séries linéaires de figures d'équilibre : à savoir, la série des ellipsoïdes de Jacobi, et line série de figures i„ non ellipsoïdales. Quel que soit n, il y aura toujours un ellipsoïde de Jacobi satisfaisant à la condition (i). Nous a\ons donc démontre l'existence d'une infinité de figures d'équilibre nouvelles ^3, 2.,, . . . , i„.

La figure 2„ a mêmes plans de symétrie que l'ellipsoïde si n est pair; si «est impair, elle est symétrifjue par rapport aux plans des xy et des xz, mais non par rapport au plan des yz.

Les figures i;, sont stables, toutes les autres sont instables.

Les ellipsoïdes de révolution sont stables, s'ils sont moins aplatis que celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi (c'est ce que sir W. Thomson avait déjà démontré en supposant qu'on imposait à la masse fluide comme liaison la condition de rester ellipsoïdale; cette condition n'est pas nécessaire). Les ellipsoïdes de Jacobi sont stables s'ils sont moins allongés (suivant le grand axe) que celui qui appartient en même temps à la séris des figures ^3.

Pour résumer les résultats obtenus, faisons l'hypothèse suivante :

Supposons une masse fluide homogène, se contractant par un refroidisse- ment, et imaginons que ce refroidissement soit assez lent pour qu'elle conserve un mouvement de rotation uniforme dans toutes ses parties et que l'homogénéité subsiste constamment.

Il arrivera alors que cette masse, d'abord presque sphérique, affectera la forme d'un ellipsoïde de révolution dont l'excentricité ira sans cesse en croissant, jusqu'à ce qu'elle atteigne la valeur 0,81 ; la masse deviendra ensuite un ellipsoïde de Jacobi puis une figure ij. Pour expliquer grossièrement la déformation qu'elle subit alors, imaginons que l'ellipsoïde soit coupé en deux

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. Sq

moitiés par un plan perpendiculaire au grand axe. En devenant une figure l-.^, l'une des moitiés de l'ellipso'ide s'aplatira et se rapprochera de la forme hémi- sphérique, l'autre moitié s'allongera au contraire de plus en plus. 11 est difficile de dire ce qui arrivera ensuite si le refroidissement continue, mais l'examen des figures 2;, porte à croire que la masse ira en s'étranglant dans sa petite moyenne pour se partager ensuite en deux masses isolées et inégales.

SUR

L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION^')

Acta Mathcniiitirii . t. 7. p. 25f)-38o (i6 septembre i88j)

TABLE DES MATIERES.

P.iges.

I. Introduction 4i

II. Equilibre de bifurcation 43

III. Échange des stabilités 5o

IV. Cas d'un nombre infini de variables 55

V. Première application : figures annulaires 62

VI. Exemples d'éi|uilibres de bifurcution 67

\'II. Stabilité de l'équilibre relatif 70

VIII. Fonctions de Lamé 76

IX. Détermination des coefficients de stabilité 86

\. Discussii)n de l'équation fondanienlale 93

XI. Ellipsoïdes de révolution ijS

XII. Ellipsoïdes de Jacobi 107

XIII. Petits mouvements d'un ellipsoïde ii3

XIV. Stabilité des ellipsoïdes 127

XV. Conclusions i3g

(') Manuscrit remis le iGjuilIel i885.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

I. — Introduction.

Quelles sont les figures d'équilibre relatif que peut atfecter une masse lluide homogène dont toutes les molécules s'attirent conformément à la loi de Newton et qui est animée autour d'un certain axe d'un mouvement de rotation uni- forme ?

Quelles sont les conditions de stabilité de cet équilibre?

Tels sont les doux problèmes qui forment l'objet de ce Mémoire.

On en connaît depuis longtemps deux solution : l'ellipsoïde de révolution et l'ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi. Je me propose d'établir qu'il y en a une infinité d'autres,

Mais je vais avant d'aller plus loin signaler un certain nombre de résultats que l'on trouve dans le Treati.se on Nalutal Philosophy de MM. Tait et Thomsou, 2" édition, §778. Sir William Thomson énonce la plupart de ces propositions sans aucune démonstration; pour quelques-unes d'entre elles, il renvoie à des Mémoires plus étendus insérés au Philosophical Transactions.

Voici ces résultats, qui doivent nous servir de point de départ.

a. L'ellipsoïde de révolution aplati est une figure d'équilibre toujours stable, si l'on impose à la masse fluide la condition d'an"ecter la forme d'un ellipsoïde de révolution.

b. Si nous imposons à notre masse la condition d'être de révolution, mais non plus celle d'être ellipsoïdale, on trouve, si le moment de la quantité de mouvement est assez grand, deux figures d'équilibre : une figure annulaire qui est stable et une figure ellipsoïdale qui est instable. (Nous verrons dans la suite de ce Mémoire qu'il y en a une infinité d'autres parmi lesquelles il y en a de stables grâce à la condition imposée à la masse de rester do révoluliou.)

c. Il existe également des figures d'équilibre, probablement instables, où la masse se subdivise en plusieurs anneaux concenlri([ues.

d. La figure annulaire d'équilibre est stable si l'on impose à la masse la condition de rester de révolution, et probablement instable si l'on supprime cette liaison.

e. Si l'on impose à la masse la condition d'être ellipsoïdale, mais non d'être de révolution, l'ellipsoïde de révolution est stable, si l'excentricité est inférieure à 0,8127 et instable dans le cas contraire. (Nous verrons dans la suite de ce

H. P. — Vit. G

42 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

Mémoire quo les coiidilioiis de sl;il>ilil(i reslenl les mêmes si l'on ne s'impose aucune liaison. ")

L'ellispoïde de Jacobi esl toujours stable, si l'on impose à la masse la condilioQ d'être ellipso'idale.

f et g. L'ellipso'i'de de Jacobi, si l'on ne s'impose aucune condition est certainement instable dans certains cas, bien qu'il soit probablement stable dans d'autres. (Nous démontrerons dans la suite de ce Mémoire qu'il v a efTeetivemenl des cllipso'ides de Jacobi qui sont stables.)

Une autre forme d'équilibre stable, si le moment de la quantilé de mou- vement esl assez grand, sera celle où la masse se subdivise en deux corps isolés, comparables à une planète et un satellite dont les vitesses de rotation seraient égales entre elles et à celles de révolution.

h. Il existe également des configurations où le fluide se subdivise en plus de deux masses détachées, mais elles sont instables.

/. 11 subsiste une importante lacune entre le plus grand moment de la quantité de mouvement qui correspond à un ellipso'ide de Jacobi stable cl le plus petit moment qui correspond à l'équilibre stable de deux masses isolées. Il y aurait intérêt à combler cette lacune par des figures intermédiaires. (J'ai fait à la fin de ce Mémoire une tentative dans ce sens, mais je n'ai réussi pour ainsi dire qu'à amorcer le problème et à indiquer la voie à suivre.)

y. Si l'énergie avec un moment donné esl un minimum ou un maximum, l'équilibre est stable, pourvu que le liquide soit parfaitement dépourvu de viscosité. Il est probable qu'il est instable si l'énergie esl un « minimax » mais cela n'a pas encore été démontré. (Nous verrons dans la suite de ce Mémoire un exemple où l'équilibre est stable à la condition que le fluide soit aft^o/MmenZ dépourvu de viscosité et bien que l'énergie soit un « minimax »).

/.'. Si le liquide est visqueux, et si peu qu'il le soit, l'équilibre sera certainement instable si l'énergie est un maximum ou un minimax, et certaine- ment stable si elle est un minimum.

Je donnerai dans la suite de ce travail la démonstration de quelques-unes des propositions que sir William Thomson avait sculemenl énoncées, et je les complélerai même sur divers points, comme je l'ai déjà indiqué dans les parenthèses que j'ai intercalées dans le précédent exposé.

Je démontrerai aussi l'existence de figures d'équilibre tout à fait difTérontes de celles dont parlent MM. Tait et Thomson.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 43

J'ai déjà donné dans le Bulletin Astronomique (') une courte Note où j'étudie plus en détail l'anneau simple ou multiple dont il est question dans le passage cité plus haut (6, c et d).

Dans celle étude, je me suis rencontré avec M"" Kowalevski qui avait déjà employé les mêmes procédés d'analyse dans un Mémoire sur l'anneau de Saturne, qui avait été communiqué en 1874 à l'Université de Gôltingen et qui n'a été imprime qu'en i885 dans les Astrononiisclie Nachrichten.

II. — Équilibre de bifurcation.

Considérons d'abord le cas où il s'agit d'un équilibre absolu et d'un système dont la position est définie par n quantités x^^ x^. . . ., x„. Supposons qu'il y ait une fonction des forces F(:ri, x-2, . . . , x,,) de façon que l'équilibre ait lieu quand toutes les dérivées de celte fonction s'annulent et qu'il soit stable quand cette fonction est maximum. Je supposerai qu'outre les quantités Xi, Xo, .. ., Xn, il entre dans la fonction F un paramètre variable y, de telle sorte que les" valeurs des x qui correspondent à l'équilibre dépendent de ce paramètre j'.

Supposons que y ait une valeur déterminée; les équations d'équilibre :

dxi dxi ' ' ' dxn

auront un certain nombre de racines; quand on fera varier y^ (si P' est une fonction holomorphe des x et des >', ce que nous supposerons d'abord), ces racines varieront d'une manière continue. Nous aurons ainsi un certain nombre de séries linéaires de racines :

-^■1= ?-2[(j), j-.2= 022(7), ..., .r„=92«(r);

.ri = ?ii(/), 2-2= 9/c2(.k), ..., ar„ =(?<•„ (7).

Dans chacune de ces séries linéaires, x,, x-i, ...^Xn sont des fonctions continues du paramètre y. Pour certaines valeurs de y, deux ou plusieurs racines peuvent se confondre. Quelle est la condition pour qu'il en soit ainsi ?

boit A le déterminant (onclionnel des n dérivées —, — -, -7—1 ■■■i—, — par

ax\ dxi ax„ '

rapport aux n vari;ibles Xi. x^, • . -jX,,, ou, en d'autres termes, le hessien de

{') Œuvres de H. Poincaré, ce Tome, p. 17.

44 SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

la fonction F par rappori à ces n vai'ial)les. La condition nécessaire et suffisante pour que deux ou plusieurs racines se confondent, c'est que A soit nul.

Supposons que pour une certaine valeur a de r, pour laquelle \ s'annule, p racines des équations (i) viennent à se confondre, ou en d'autres termes, qu'une même racine appartienne à la fois à p séries linéaires. Parmi les p racines qui appartiennent à cesyj séries linéaires, il j en aura 2^ qui seront imaj^inaires et /> — 2q qui seront réelles pour j)- < a ; il j en aura d'outre part 2 ;• qui seront imaginaires et/> — 2/' qui seront réelles pour^>- y..

Si/? = 2, <jr = /■:= o, les racines des deux séries linéaires sont réelles, et l'on a ainsi une racine c|ui appartient à la fois à deux séries réelles.

.Si /> = 2, (yf ^ o, /= I , les racines sont toutes deux réelles pour j- < a, et toutes deux imaginaires pour j' >■ a. Quand j)' en croissant atteint et dépasse la valeur a, deux racines réelles se confondent, puis deviennent imaginaires.

Si /> =: 3, ^ = /■ := I , il y a pour y ■< « et pour j' > a, une racine réelle et deux imaginaires, de sorte que la racine qui correspond à j' = a n'appartient qu'à une seule série réelle. Mais il est aisé de voir dans ce cas que A s'annule sans changer de signe.

Il est inutile de citer d'autres cas particuliers, j'arrive tout de suite au résultat général que j'ai en vue. Soit

(2) •'■1= 9lO'). ^2=92(7), •••, Xn=^n{y)

une série linéaire de racines; tpi, cp», . . . , <p„ étant des fonctions continues et uniformes de j'. Supposons de plus que pour les valeurs de y voisines de a, qu'elles soient inférieures ou supérieures à cette quantité, les fondions cp,, 9.,, ..., On restent réelles. Si l'on substitue dans A(.ri, a;.), . . . , :r„ ; r), 0\, 92, ...,0n à la place de x^,.x-2, ■■■, Xn, cette fonction A ne dépendra plus que de y. Je suppose que pour j' = a, la fonction A(j') change de signe. Je dis alors que la racine 91 (a), 90(0:), . . . , o„(s£) appartiendra non seulement à la série (2) mais à une autre série linéaire de racines réelles.

Avant de démontrer ce résultat général, donnons quelques exemples. Soit

Y ■= kx\+ -xl — y'^X', — a.rx-. Il vient pour les équations d'équilibre :

iCi = o, .Tî = zh />•■- -t- X T ; d'où

A = 1 A ^2 = =h 4 '^ vO" + ^y-

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 45

Pour les valeurs de y comprises cnlre zéro et — a les valeurs de x-2 sont imaginaires; elles sont réelles pour les autres valeurs de y. Pour y^o, et pour y = — <x, les racines passent du réel à l'imaginaire ou réciproquement; c'est aussi pour ces mêmes valeurs que A s'annule.

Faisons en particulier : ar=o; il y aura deux séries linéaires de positions d'équilibre :

(2) Xi=0, .i-2=7

et

(3) ^1 = 0, Xi = — y.

Considérons la première de ces séries; pour chacune des positions qui lui appartiennent on aura

A = 4 Av.

Quand y variera depuis — oo jusqu'à + oo , les valeurs de x, et de x» resteront réelles, mais quand y passera par zéro, A cliangera de signe. Donc en vertu du principe que je viens d'énoncer, la position d'équilibre qui correspond à la valeur jK^ G, c'est-à-dire

Xi = O, X-i = o,

appartiendra non seulemenl. à la série (a), mais encore à une autre série linéaire de positions d'équilibre. Il est aisé en effet de constater qu'elle appartient également à la série (3).

Soit maintenant

a;*

4 -^ Les équations d'équilibre deviennent

Xi = o, xl = y'-

Il n'y a qu'une série de positions d'équilibre réelles, à savoir :

xi = o, A-.. = y,

et l'on voit que ces positions restent réelles quand y varie de — oo à +oo. Aucune de ces positions ne peut donc appartenir à plusieurs séries de positions d'équilibre réelles comme cela avait lieu tout à l'heure. Cependant

A = 6 Xy''

s'annule pour j' = o, mais sans changer de signe.

Pour démontrer ce principe que je viens d'énoncer et d'illustrer par quel- ques exemples, je supposerai que « = i, de telle façon que je n'aie plus que

46 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

deux variables : x qui djlinit la position du syslèine et le paramétre y. On aura

^ dx^

el l'équation d'équilibre sera

(/F

— =F'(,r,r) = o.

L'équation F'(a;,j') = o jiourra être considérée comme représentant une courbe plane C. Soit a? = cp(}') une fonction uniforme, réelle, finie et continue de j' qui satisfasse à l'équation

F'[90),j] = o.

L'équation x^o[y) représentera alors une des branches B de la courbe C. Soit M(x =: a, y^ (3) un des points de celte branche de courbe. Supposons que lorsqu'on suit cette branche de courbe, on voie d changer de signe au moment où l'on franchit le point M. Je dis qu'il passera par le point M une autre branche de la courbe C.

Soient en effet P le point de la branche B qui a pour ordonnée y = P — £ et Q le point qui a pour ordonnée jk = (3 + 6 (e étant très petit). Ces deux points sont réels, puisque par hypothèse s(j') est une fonction réelle àe y. Je suppose

par exemple qu'au point P, -j-;:^ = A soit positif, et négatif au point Q.

Par les points P et Q, je mène des parallèles à l'axe des x et je prends sur

dx

r^ncifif* (^Inn/^ Cl If» nnint P pcï ni-iA? vnicin fia F* In nApiv/^a nr

dx- dx

ces parallèles deux points P' et Q' à gauche de P el de Q. Au point P, -7- est

fi- P

nul et -j—^ positif; donc si le point P' est assez voisin de P, la dérivée première

d¥

■y sera négative. On verra de la même façon que si le point Q' est assez

voisin de Q, -7- y sera positive. Allons du point P' au point Q' en suivant une

courbe qui s'éloigne très peu de la branche B, mais qui ne coupe pas celte

dF branche; cela est toujours possible. Nous verrons -r— changer de signe; il faut

1 ' . • dF , , ,

donc qu a un certain moment-^ s annule et par conséquent que nous traver- sions une branche de la courbe C. Il y a donc une seconde branche de cette courbe qui vient passer par le point M.

En d'autres termes, ce point M est au moins un point double delà courbe G; je puis même affirmer que c'est un point multiple d'ordre pair.

Il est à remarquer que dans la démonstration précédente, nous n'avons pas été obligés de supposer que la fonction F est holomorphe, mais seulement

SUR l'Équilibre d"une masse fluide en rotation. 47

qu'elle est fmie et continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres. II j a un cas particulier sur lequel il est nécessaire d'attirer raltenlion. Soit

Nous avons une première série de positions d'équilibre réelles qui nous sont données par l'équation :c = o. Comme A s'annule avec j, il doit passer parle point x^y =^0 une seconde branche de la courbe C et en se reportant à la

valeur de -;- ) ou voit nue cette seconde branche n'est autre chose que la droite

d.c ^

y ^o. Cette droite ne représente pas une série linéaire de positions d'équilibre analogue à celles que nous avons rencontrées jusqu'ici. C'est une série de positions d'équilibre indifférent; car si y s'annule, l'équilibre subsiste quel que soit x.

Supposons maintenant que la fonction F ne contenant toujours qu'une seule variable x, dépende non plus d'un seul paramètre j', mais de deux paramètres yi et jKa- Nous pourrons regarder :r, j'i et i'2 comme les coordonnées d'un point dans l'espace; alors l'équation

rfF _

dx

représentera une surface S dont chacun des points correspondra à une position

d'équilibre.

L'équation

A = — =0 dx"-

représenlera une seconde surface S'. Supposons que l'on considère une nappe N de la surface S représentée par une équation

oîi cp est une fonction finie, continue et réelle de j'i et à^ y.,. Supposons que cette nappe soit coupée par la surface S' et de telle sorte que A change de signe quand on traverse la surface S' en suivant la nappe N. Alors la courbe d'inter- section de N et de S' est une courbe double (on multiple d'ordre supérieur, mais pair) de la surface S, par laquelle vient passer une autre nappe N' de celte surface S.

11 suffit en effet pour être ramené au cas d'un seul paramètre, de supposer entre j'i et j-._, une relation linéaire

_)•, = ay«-\- h

48 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

ou eu d'autres lertnes, de eouper les surfaces S el b' par un plan quelconque parallèle à l'axe des x.

Ou arriverait iWideuiuienl à un ràsullal analogue dans le cas où l'on aurait p paramètres )',, t-j, . . . ,yi,.

Supposons maintenant n = i; de telle façon que nous ayons deux variables X\ et Xj définissant la position du système, et un seul paramétre^'. Je regar- derai alors Xi, x-î et r comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Les

équations d'équilibre :

r/F dV

représenteront alors deux surfaces Si el Sj dont l'intersection sera une courbe gauche C. Soient

(4) ■■'•1= 9iO)' oc,= a.,{y)

deux fonctions finies, continues el réelles de r et supposons que ces équations (4) représentent une branche B de la courbe C. Soit M un point de cette branche B; supposons ([ue si l'on suit la branche B dans le sens des y croissants, on voie A changer de signe au moment où l'on franchit le point M. .Soient P et Q deux points de B ayant pour ordonnées j' ^ [3 — i, y ^^ -\-e; (l'ordonnée du point M étant J' = (3). Au point P, A sera par exemple positif, et négatif au point Q.

S'il en est ainsi, je dis qu'il passera par le point M une seconde branche de la courbe C.

En eflet, par les divers points de l'arc do courbe PQ faisons passer des plans parallèles au plan des XiX-i et dans chacun de ces plans décrivons une circon- férence de rayon ;• ayant son centre au point correspondant de l'arc PQ. Ces diverses circonférences engendreront une certaine surface ^ qui sera double- ment connexe et limitée par les deux circonférences K et K' qui ont pour centres les points P et Q. De plus, d'après ce mode de génération aucun point de la branche B n(^ peut se lrouv(!r sur la surface i.

Pour trouver le nombre des points d'inlerseclion de celte surface S avec la courbe C, il faut maintenant chercher ce que M. Kronecker appelle [Berliner Monatsberichte, mars 1869) la caractéristique du système des surfaces 2, S et Si. Le nombre des points d'inters(!clion de ces trois surfaces (ou si l'on vent de la surface i et de la courbe C) qui satisfont à certaines conditions, diminué du nombre des points d'intersection qui ne satisfont pas à ces mêmes conditions, est ligal d'après le Mémoire cité de M. Kronecker à une certaine

SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 49

intégrale. Celle intégrale est prise le long des limites du doniiiine —, c'est- à-dire le long des deux circonférences K et K'.

L'espace pourra être regardé comme partagé eu quatre régions a, b, c, d

suivant le signe des deux fonctions -; — et -r— • Dans la région a, par exemple,

les deux fonctions seront positives: dans la région b, -r- sera positif et -;—

' ^ ' aXi, ^ r/x-2

négatif, etc. A étant positif nu point P, on rencontrera en suivant la circon- férence K les quaire régions dans l'ordre circulaire abcd, pourvu toute- fois que /■ soit suffisamment petit. Nous supposons qu'on ait parcouru R de façon à laisser à sa gauche le domaine i. L'intégrale de M. Rronecker le long de K. est alors égale à i . A étant négatif au point Q, on renconlrera en suivant R' les quatre régions dans l'ordre circulaire adcb, si l'on décrit cette circon- férence dans le même sens que R. Mais si l'on veut laisser le domaine — à sa gauche, il faut décrire R' en sens contraire et alors les quatre régions se succèdent dans l'ordre abc/. L'intégrale est donc encore égale à i et l'intégrale totale est égale à 2.

Le nombre des points d'intersection de 2 et de C est donc au moins égal à 2 ; et aucun de ces points ne peut appartenir à B. 11 faut donc que par le point M passe une seconde branche de la courbe C. c. o. f. d.

(Dans le cas où le théorème de M. Rronecker s'applique à une multiplicité

à deux dimensions et à deux fonctions X et Y, et où par conséquent son inté- grale doit être prise le long d'une courbe fermée, on voit aisément que cette

iniégrale est égale à la demi-différence du nombre de fois que .. saute de — 00

à +00 et du nombre de fois que ,. saute de 4- 00 à — 00 . )

Le résultat s'étendrait sans peine au cas où nous aurions un plus grand nombre de variables. Le théorème de M. Rronecker serait en effet encore applicable.

Résumons les résultats de ce paragraphe.

Les formes d'équilibre du système considéré sont données par les «équations

d.r, d.v-i ' ' ' dx'„

Ces 71 équations auront un certain nombre de solutions réelles et quand y variera d'une façon continue, ces solutions varieront elles-mêmes d'une façon continue Je manière à former diverses séries linéaires de formes d'équilibre . H. p — vu.

5o SUR L'EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

11 pourra d'ailleurs arriver qu'une uièine forme d'équilibre apparlienue à la fois à deux ou plusieurs séries linéaires. Nous dirons alors que c'est une fo?' me de bifurcation. On peut, en eflel, pour unu valeur de )• infinimenl voisine de celle qui correspond à celle forme, trouver deux formes d'équilibre qui dif- fèrent infiniment peu de la forme de bifurcation.

Il peut arriver également que deux séries linéaires de formes d'équilibre réelles viennent, quand on fait varier y, à se confondre, puis à disparaître, parce que les racines des équations d'équilibre deviennent imaginaires. La forme d'équilibre correspondante s'appellera aXovs forme limite.

Une forme d'équilibre ne peut être une forme de bifurcation ou une forme limite qu'à la condition que A soit nul. Il résulte de là que si les équations d'équilibre admettent pour une certaine valeur de i' une solution pour laquelle A ne soit pas nul, elles en admettront encore une et inliniment peu différente de la première, pour les valeurs de y suffisamment voisines de celle que l'on avait considérée d'abord. En effet s'il n'en était pas ainsi, la forme d'équilibre qui correspond à la première solution serait une forme limite, ce qui exigerait que A fiit nul.

Si l'on suit une série linéaire de formes d'équilibre réelles en faisant varier 7- et que l'on voie A s'annuler et changer de signe, la forme d'équilibre corres- pondante ne peut être une forme limite puisque les formes d'équilibre très voisines qui appartiennent à la série linéaire sont supposées réelles. II résulte de ce qui précède que c'est toujours une forme de bifurcation.

Si, enfin, en suivant une série linéaire de formes réelles, on voit A s'annuler, mais sans changer de signe, on est sûr, pour la raison que je viens de dire, que la forme correspondante n'est pas une forme limite. Elle peut être une forme de bifurcation, mais il n'en est pas toujours ainsi.

III. — Échange des stabilités.

Considérons la forme quadratique

* =7, / . XfX/ a = \,-i h; /. =1, 2, ..., Il )

^U ri Xi dXk

contenant les n indéterminées X), X^., . . ., X„. Cette forme aura pour dis- criminnni A.

Pour que l'équilibre soit stable, il faut et il suflil (puisqu'il s'agit d'un (''qui-

SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. 5i

libre absolu) que la ionclion des forces F soit maximum, cesl-à-dire que la forme «t soit définie négative.

Imaginons qu'on ait décomposé la forme <I> en une somme de n carrés :

<I) = So:,Y,- ^ (1=1,2, /i),

OÙ \, est une fonction linéaire des X. Supposons que parmi les coefficienls c, que j'appellerai coefficienls de stabilité, il y en ail v positifs el « — v négatifs. A sera positif si n — v est pair, et négatif si « — v est impair. A sera nul quand un des coefficients x s'annulera. Enfin il y aura stabilité si tous les coefficients de stabilité sont négatifs. 11 est inutile de faire observer que le nombre v est indépendant de la manière dont la forme <I» a élé décomposée en carrés.

Supposons que pour .rj = 3^., := . . . := x„ = o, y = o, on ait une forme d'équi- libre de bifurcation, c'est-à-dire aue les n dérivées partielles -r— s'annulent ainsi que A. Je dis que nous pourrons toujours supposer que l'on a aussi

dxi dxk

{i>,n

En ell'et, cela revient à dire que la forme "I» ne conlieut pas de termes rectangles ; or, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait toujours décomposer la forme *b en carrés, comme on l'a dit plus haut, c'est-à-dire qu'on pourrait, par une trans- formai ion linéaire, faire disparaître les termes rectangles. Les coefficienls de

stabilité sont alors -r^i -r^ , • • . - ——7 ■ Pour que A s'annule, il faut el il suffit

qu'un ou plusieurs de ces coefficienls s'annulenl. Supposons par exemple que

-T-rr s'annule et que les autres coefficienls ne s'annulent pas. Supposons enfin

(tX\

que la fonction F soit holomorphe el puisse se développer suivant les puissances de X et de y.

De l'équation-; — = 0 nous tirerons x-i en fonction holomorphe de Xt.

.Z;,, . . ■ , Xn et )'. Pour que cela soit possible, il suffit que -j-rr ne soit pas nul,

ce qui a lieu en ellél. Substituons ensuite partout à la place de Xo la valeur

dV

ainsi trouvée. De l'équation-; — = o, nous tirerons ensuite X\ en fonction holomorphe Aq X\,,x r„ et )•. Cela est encore possible parce que -r-^ n'est

pas nul. On continuera de la sorte jusqu'à ce qu'il ne reste plus que deux

dY variables .ri el r et une seule équation d'équilibre -7 — = o. ( )uanl à x-,.

' ' dx I ^

52 SUR L EQUILIBRE D UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

,r;;, r,M les autres équations d'équilibre, résolues comme on vient de le

dire, les fournissent sous la forme

(i) .(•,.= Ço(xi, r), X3= =3(j-,, _)■;, ..., ,r„= 9„(_j.-,, i).

les o étant liolomorphes.

Quant à l'équation y^ = o, elle s'écrira, toutes réductions faites.

(2) o = 'i-x'l -h 2b.i:,y ■+■ c )■-+ 6,

0 représeiiinni uu ensemble de termes de degré supérieur au second en x, ei y. On voit que si ,ri et y sont les coordonnées d'un point dans un plan, cette équation représente une courbe à point double, ce qui montre de nouveau que la forme d'équilibre considérée est une forme de bifurcation. Nous sup- poserons { ' )

b- — tic > o.

Nous tirerons alors, de l'équation (2), .r^ en fonction de ^' de deux manières différentes

(3) . ;r, = 0iO'). .r, = 4'.,(/),

les ■]) étant holomorphes. Les deux équations (3) jointes aux équations ( i ) nous donnent les deux séries linéaires de forme d'équilibre.

Formons A et considérons le d'abord comme fonction de x,, x-^. ■ . . . x,, et i'.

En remplaçant Xn Xn par leurs valeurs tirées des équations (1), A ne sera

plus fonction que de Xt et de y cl l'on reconnaîtra aisément que

A = 2M{ (lu:, -+- h y ) H- Ai,

M étant le produit des n — 1 dérivées -i—^i -r-^i • • • 1 -t-t et A) étant un ensemble

de termes de degré supérieur au premier.

L'équation A =: o représentera alors une courbii A passant pai' l'origine dans lo plan des x, y et l'équation fa) représentera une courbe C formée de deux branches B (!t B'. Les équations de ces deux brandies de courbe qui ne sont autres que les équations (3) pourront s'écrire

' = >-(-^-f-->^.- ■'■. = .'•(

^i_ ,■■ - ï- •■■.,» .._..! ~i>--\''0--

(') Si O- — ac est nul, Im forme J'équilibre e»l eu yénunil une Inruic limite; ccponiljint. 'Ili est de Ijifuication dans certains cas exceptionnels. (.1. L.).

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 53

Y, et V.j étant des termes de degré supérieur au premier. Si dans l'expression A on remplace x, par 'L, ( )-) ou par '^^(y), on trouve

A = ± 2M \/6=— acj -H A>,

Aj représentant un ensemble de termes de degré supérieur au premier. Le signe + se rapporte à la substitution de '!),, c'est-à-dire à la branche B el le signe — à la substitution de iJ^-2, c'est-à-dire à la branche 15'.

Ainsi, que l'on suive la branche B ou la branche B', on verra A changer de signe en même temps que )■. De plus pour toutes les valeurs de )•, voisines de zéro, A a des valeuis de signe contraire, selon qu'on suit la branche B ou la branche B'. Par exemple, pour )■ positif, A sera positif sur la branche B et négatif sur la branche B'; pour }■ négatif, ce sera le conlraire, A sera négatif sur la branche B et positif sur la branche B'.

Supposons qu'à l'origine, un des coefficients de stabilité soit nul (ce qui est conforme à l'hypothèse faite plus haut), que v de ces coefficients soient négatifs et n — V — I positifs. Dans le voisinage de l'origine, il y aura toujouis (par raison de continuité) v ou v + 1 coefficients de stabilité négatifs. Si v est pair, il y en aura v toutes les fois que A sera positif el v + i toutes les fois que A sera négatif. Ce sera le contraire si v est impaii-.

Il résulte de là que, si pour y positif, on a v coefficients négatifs sur la branche B et v + 1 coefficients négatifs sur la branche B', ce sera l'inverse pour r négatif et l'on aura alors v + 1 coefficients négatifs sur la branche B et v sur la branche B'. Si au conlraire on a pour t positif, v-j- 1 coefficients négatifs sur la branche B el v sur la branche B', on aura inversement, pour j- négatif, V coefficients négatifs sur la branche B et v -f- i sur la branche B'.

Pour qu'il y ait stabilité, il faut et il suffit que tous les coefficients de stabi- lité soient négatifs. Si donc pour y positif il y a stabilité sur la branche B et instabilité sur la branche B', ce sera l'inverse pour y négatif. De même si pour y positif il y a instabilité sur la branche B et stabilité sur B', ce sera encore l'inverse pour i- négatif. En d'autres termes, il y a éc/iange des stabilités entre les deux branches B et B' au moment où elles se croisent.

Pour établir ce résultat, j'ai supposé, non seulement que Fêlait continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres, mais encore que cette fonction était holomorphe. Cette hypothèse n'est nullement nécessaire. Pour le faire voir, je vais reprendre le raisonnement en supposant n ^ \ .

Dans ce cas, la courbe C se réduit à une courbe i)lane el A à —, — Soit O le

54 SUR L'ÉQUILIBRE DUNF. MASSE FLUIDE EN ROTATION.

. point du pian qui correspond à la l'orme d'équilibie de biliucaliou. Uu point ( ) comme centre, décrivons un -cercle R de rayon très petit. Ce cercle K rencon- trera la courbe C en un certain nombre de points. Il résulte du raisonnement du paragraphe précédent, que si un arc de courbe joint deux points de C où le signe de A}' ne soit pas le même, cet arc devra couper la courbe C en un nombre impair de points: et que si au contraiic A}'a même signe aux deux extrémiiés. l'arc de courbe considéré devra couper C en un nombre pair de points. Donc si l'on envisage les différents points d'interseclion de C et de K dans l'ordre où l'on rencontre en suivant le cercle K, on verra que S^■ v sera alternalivcment positif et négatif. Le nombre total des points d'intersection est donc pair. Si n-ous supposons en particulier que deux branches de courbe seulement viennent passer au point (), nous aurons alors deux poinis d'intersection «i el a., oii y sera négatif et deux points d'intersection (3, et p^, où;;)' sera positif. La branche 0(3) devra alors être regardée comme le prolongement de la branche «lO; de même que 0^.> comme le prolongement de oi.^O. Je suppose, pour fixer les idées, qu'en a,, A soit positif. Alors d'après la règle qui précède, A sera négatif en X.,. négatif encore en S, et positif en |3^, ce qui confirme le résultat précé- demment obtenu. Il serait aisé, d'après les considérations que je viens d'exposer, de voir ce qui se passerait si plus de deux branches de courbes venaient passer en O.

Nous avons dit plus haut que si en suivant une série réelle de formes d'équi- libre, on voyait A s'annuler sans changer de signe, on ne pouvait affirmer que la forme correspondante fût une forme de bifurcation. Nous pouvons remar- quer que A peut de deux manières s'annuler sans changer de signe. Il peut arriver ou bien que plusieurs coefficients de stabilité s'annulent sans changer désigne; ou bien que deux (ou un nombre pair) de ces coefficients changent de signe. Dans le premier cas, nous ne pouvons en effet rien affirmer; voyons ce qui se passe dans le second.

Nous supposerons pour fixer les idées que

— =o (f^Ai, -—- = ---^=(1.

rf^F d- 1- , rf2 F

r/:rr"' (/xl"""- ■■•' d^,<°-

11 arrivera alors que des n — a équations d'équilibre

dV_ _ dV_ _ _ dV _ (lx< d.r, ' ' ' d.r,, ~

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 55

on pourra tirer x-^, x:,, . . ., Xn en fonctions holoaiorplies de j"i, Xi ety. Si dans les deux autres équations d'équilibre

<1V_ _ (JV__

ft.T , (Ix-l

on substitue ces valeurs de X3, x-,, .... x,,, ces équations deviennent ( 4 ) il»! -i- 'Pî = o, <I>', -I- '!>.; = o,

où <1>| et «t'i représentent un ensemble de termes du deuxième degré en Xu ^2, )■ et <I>2 et <I>','un ensemble de termes de degré supérieur au second; (si l'on suppose comme plus haut que la position d'équilibre envisagée soit a?| ^ a:., = . . . ^ Xn=^y = 0).

Regardons X|, Xo Q^ y comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Les deux équations (4 ) représenteront deux surfaces ayant chacune à l'origine un point conique du deuxième ordre. L'intersection de ces deux surfaces sera la courbe C. On voit que par l'origine passeront quatre branches de la courbe C, réelles ou imaginaires. IMais une de ces quatre branches est certainement réelle, puisque j'ai supposé au début qu'on a pu suivre, dans le voisinage de la position d'équilibre envisagée, une série de formes d'équilibre réelles. Il faut donc qu'il V ait une autre des quatre branches qui soit réelle. La forme d'équilibre envi- sagée est donc do bifurcation.

D'où la conclusion suivante :

Pour qu'une forme d'équilibre appartenant à une série linéaire réelle soit de bifurcation, il suffit, non seulement que A change de signe, mais que l'un quelconque des coefficients de stabilité change de signe.

IV. — Cas d'un nombre infini de variables.

Les problèmes traités dans les deux paragraphes précédents ne présentent aucune espèce de difficulté. Malheureusement, lorsqu'on recherche la figure d'équilibre d'une masse fluide soumise à diverses forces, la question est beau- coup plus compliquée. En effet, la figure d'une pareille masse dépend, non pas d'un nombre fini de variables x,, x.,, .... x.,. mais d'un nombre infini de variables.

Supposons par exemple une aire piano A peu ditléiente d'un cercle ; l'équation

56 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

de la courbe tjui liuiite celte aire plane pourra s'éciire, en coordonnées polaires (p et o) :

p = r -i- [il cos z -h Pi cos 29-1-...-:- [in cos no + . . . - •;, «in 9 -t- •■;■< sin ?. ç -1-. . . -t- "j'n sin/iç -; . . . ,

les p et les y élanl très petits par rapport à /■, el la ligure do l'aire plane dépendra des coefficients ;■, 3 et y qui sont en nombre inlini.

Supposons que tous les éléments de l'aire A s'attirent en raison inverse des distances el en raison directe de leurs suifaces. 11 résultera de cette attraction une énergie potentielle W qui sera représentée par l'intégrale suivante :

*=.f

cIm do)' log — )

du> et <iw' étant deux éléments quelconques de l'aire A et A la distance de ces deux éléments. On reconnaît alors que W est une fonction holomorphe de r, des (3 el des y. Je veux dire que si l'on fait varier seulement un nombre fini >i de ces coefficients, les autres restant constanls, W sera une fonction liolo- inorphe des n coefficients variables.

Supposons que les [3 et y étant regardés comme très petits, ou calcule l'intégrale W en négligeant les cubes des (3 et des y. On trouvera

W

On pourra tirer de là la conclusion suivante :

Si l'on suppose que l'aire A soit assujettie à être équivalente à une aire donnée Txr'l de telle sorte que

et qu'en même temps (3( el y, soient assujettis à être nuls, le cercle dont le rayon est ro sera une forme d'équilibre de l'aire A. On déduit de (i) que

et en négligeant toujours les cubes des [3 el des y

Il est d'ailleurs aisé de voir que si l'on regarde W comme une fonction d'un

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. .'J7

nombre fini des coefficienls (3 et ■•, les autres coefficients restant constants, on aura

d^W d^-W d^W ,/ i

o> -TUT =-j::r =''■'• i

d%d^„ ' d[.l dfl »V«

d- W d'- W

dlit dpn ,hi d-^t 11 résulte de là que la série infinie

-^/•;ii;(;i^+v^)Q-i) («=2,3,...)

joue le même rôle que jouait la forme quadratique *t dans le paragraphe pré- cédent, avec cette difierence, qu'au lieu d'un nombre fini de variables X,, Xo, .... X„, il y entre un nombre infini de variables (3„ et '■„■

Les coefficients de stabilité sont alors les quantités t:;;; ( — i). On voit

que tous ces coefficienls sont négatifs, de telle façon que l'équilibre est stable.

Cet exemple permet de voir comment la notion des coefficienls de stabilité peut s'étendre au cas où l'équilibre dépend d'un nombre infini de conditions.

On peut de même étendre à ce cas la notion des formes d'équilibre de bifur- cation et des foruies d'équilibre limite. Supposons eu eflet que les forces aux- quelles sont soumis les éléments de l'aire A dépendent d'un paramètre jk- Pour chaque valeur de y nous aurons un certain nombre de formes d'équilibre. Lorsque y variera, ces formes varieront aussi, en général d'une manière continue. On aura ainsi un certain nombre de séries linéaires de formes d'équilibre. Pour chacune de ces séries, les coefficients (3 et y seront des fonc- tions finies, continues, uniformes et réelles de y. Il pourra arriver alors que quand y tendra vers une certaine valeur a, deux formes d'équilibre réelles, appartenant à deux de ces séries linéaires, tendront à se confondre. Lorsque y aura dépassé cette valeur a, il arrivera, ou bien que les deux formes d'équilibre envisagées disparaîtront et cesseront d'être réelles, ou bien qu'elles resteront réelles et cesseront de se confondre. Dans le premier cas, on aura une forme d'équilibre limite. Dans le second cas, une forme d'équilibre de bifurcation. Rien n'est donc changé à ces définitions qui restent les mêmes que dans les cas précédemment examinés.

Il reste à étendre les résultats du paragraphe précédent au cas qui nous occupe actuellement. Il faut montrer que :

1 ' Pour une forme d'équilibre limite, l'un des coefficients doit s'annuler. H. p. — VII. s

58 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

a" Si l'oa suil une série linéaire de formes iJ'c([iiiIibre el si l'on voit un des coefficients de slabililé chantier de signe, la forme qui correspond à la valeur de )■ pour laquelle se fait le changement de signe est une forme de bifurcation.

3" La loi de l'échange des stabilités s'étend au cas qui nous occufie.

Nous démontrerons ces trois propositions en partant de l'hypothèse sui- vante :

Le nombre des variables étant infini, celui des coefficients de stabilité devra également être infini; mais je supposerai que parmi les coeflicieiits. il n^r en a qu^un nombre fini de positifs.

J'appellerai x\. x-.., . . ., x^, ■ ■ ■ les variables qui définissent la forme du système et }' un paramètre dont dépendront les forces qui agissent sur ce sys- tème. Je supposerai que ces variables ont été choisies de telle sorte que pour la forme d'équilibre envisagée el que nous appellerons A, on ail

o = >• = Xi = a:-2 = . . . = x„ = . . . .

Si dans la fonction des forces F(x, i) on fait j- ^ o, nous pouvons encore supposer que les variables jc aient été clioisies de telle sorte que l'on puisse écrire, en négligeant les cubes des quantités x supposées très petites :

l-'(x, o) = \ + 3.1X1^ y-ixi-i- .. .-t- oi.„Xf,-\- a„_,.i.ï,-j_^, -i- . . . -1- ■j.pxfi-h....

Nous supposerons, conformément à l'hypothèse faite plus haut, que parmi les n coefficients «f, y.^, . . . , st„ il peut y en avoir de positifs ou de nuls, mais que tous les coefficients suivants z„+i, <Z;,+'j, . . . , y.,,, . ■ . sont négatifs.

Avant d'aller plus loin, je dois faire une autre remarque. Quand nous n'avions qu'un nombre fini de variables, nous regardions la fonction F comme définie pour toutes les valeurs de x, ou du moins pour toutes les valeurs suffi- samment petites de ces variables. 11 n'en peut plus être de même ici. La fonc- tion F ne sera définie que quand une certaine série à termes positifs

(2) Àl I .i'i i -t- À2 I i-2 i -•- Xs I .-Cs I -4-. . .-f- /.„ I X„ I -<-. . .

sera convergente. Le chois des variables x étant encore arbitraire dans une certaine mesure, nous pouvons supposer qu'on les ait choisies de façon que tous les À soient égaux à 1 .

Cela posé, nous pouvons passer à la démonstration des trois propositions énoncées ci-dessus.

I" Je dis d'abord que si aucun des coeflicienti^ a n'est nul, la forme A ne

SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. 69

pourra èlre une forme limite, c'est-à-dire que pour des valeurs de t très petites (mais d'ailleurs positives ou négatives), le sjstème sera susceptible d'une forme d'équilibre très voisine de celte forme A.

Pour le démontrer, je vais introduire dans le système des liaisons exprimées par les équations suivantes :

.r, = r,, .r.,= y.j. .... x„=r„,

ji, J-.J, . . ., fa étant des constantes que nous regarderons comme données. Les conditions de l'équilibre du système, assujetti à ces liaisons, dépendront naturellement du choix des n + 1 paramètres y, Vi, jo, .... r„ et elles seront exprimées par les équations en nombre infini :

Dans le cas particulier où

y = Vt = )., = . . .= v„= o, l'équilibre aura lieu pour

c'est-à-dire en même temps que l'équilibre du système supposé libre. Mais il y a une différence importante entre les deux cas. L'équilibre du système libre est instable parce que parmi les coefficients «i, a.,, . . ., a,,, il y en a de positifs. L'équilibre du système à liaisons sera stable parce que tous les coefficients y.n+\i 3.11+i, . . . , ^p, ■ ■ ■ sont négatifs.

Je dis que pour les valeurs des m + 1 paramètres y suffisamment voisines de zéro, le systèm,e à liaisons sera susceptible d'une forme d'équilibre stable très voisine de la forme A. Eu d'autres ternies, si l'on fait

(3) ' .v = fi, 7i = Pi, ■•■, Jtt=8„,

on pourra prendre les [3 assez petits pour que la fonction F soit susceptible d'un maximum (en tenant compte des liaisons) et pour que ce maximum ait lieu pour des valeurs des x aussi petites que l'on veut.

Appelons en effet D le domaine comprenant tous les systèmes de valeurs des variables Xn+i, Xn+2f • • -, a?^, • ■ • qui sont telles que la série

(4) — a-n+ix'j;^, — a„^nx'^_^.,— . . .— XpxJ, — . . .

soit convergente et ait une somme plus petite que e. La limite du domaine D

r.o SlIR I. ÉQUILIHRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

se composera d'un iloniaine d coiupreuaui Lous les systèmes des valeurs des x tels que la série (4) soil convei-genle el ait une somme égale à £.

Quand les )■ sont nuls, la fonction F est égale à A quand les x sont nuls, et à A- — z-'-Z quand les x appartiennent au domaine <3 (Ç étant un infiniment petit d'ordre supérieur à celui de z). Donnons maintenant aux i- les valeurs (,]). I,a fonction F étant continue, nous pourrons prendre les (b assez petits pour que F dillère aussi peu que nous voudrons de A quand les x sont nuls, et aussi peu que nous voudrons de A — £ + Ç quand les x appartiennent au domaine d. On pourra donc prendre les |3 assez petits pour que F soil plus grand quand les X sont nuls qu'en aucun point du domaine o.

11 en résulte que la fonction F prendra en certains points du domaine D des valeurs plus grandes qu'en aucun des points de la limite de ce domaine. Il faut donc conclure qu'en un certain point du domaine D, la fonction F atteint un maximum. Il est nécessaire toutefois, pour que cette conclusion s'impose, que l'on admette que la fonction F ne va pas en augmentant indéfiniment à mesure que la série (2) devient de moins en moins convergente. Il y aurait bien des objections à faire, mais on ne saurait exiger en Mécanique la même rigueur qu'en Analyse pure pour ce qui concerne l'infini.

Le principe auquel nous sommes ainsi conduits peut s'énoncer ainsi ;

Si un système mécanique quelconque, et en particulier une niasse iluide, est en équilibre stable sous l'action de certaines forces, et si l'on vient y appliquer en outre des forces perturbatrices infiniment petites, ce système prendra sous l'action de ces forces une figure d'équilibre stable infiniment peu différente de sa figure primitive.

Se ne crois pas qu'on puisse le mettre sérieusement en doute, malgré les objections dont je viens de parler et qui sont de nature à intéresser plutôt l'analyste que le mécanicien.

Cela posé, la forme d'équilibre stable du système à liaisons doit être regardée comme définie; elle le sera, par exemple, par les équations

Les fonctions (j> seront des fonctions continues des (5 el elles s'annuleront avec (3 quelles que soient les valeurs de (3i, 3^, . . . , j3„.

Si nous substituons dans F ces valeurs des a;„.i, x„+-i-, ■ ■ ■ ■ Xp, . . . , cette fonction ne dépendra plus que de (3, ^^, [3,, . . . , (3„.

11 faut maintenant chercher quelles valeurs on doit donner à p,, (3.j, . . ., |3„

SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 6l

pour que l'équilibre subsiste (saas toutefois rester stable) quand on supprime les liaisons. 11 faut pour cela que l'on ait

^ _ OF _ _ dV _

Eu d'autres termes, il faut considérer que, les x étant délinis par les équa- tions (5), la figure du système ne dépend plus ((ue des n variables pj, [3.,. .... p,,, et il faut chercher les conditions d'équilibre du système ainsi défini.

Je veux faire voir (jue pour les valeurs de (3 voisines de zéro, ce système admet une forme d'équilibre. Pour cela il me suffit, puisque ce système ne dépend plus que d'un nombre fini de variables, de chercher les coefficients de stabilité pour (3 = o.

Or pour 3 = o, puisque les fonctions o s'annulent, on a

2, ,3;-!-.

'n Pô •

Z étant un ensemble de termes d'ordre supérieur au second par rapport auv |j.

Les coefficients de stabilité sont donc y,, ao y.,, et, coninie aucun d'eux

n'est nul, la forme d'équilibre considérée ne peut être une forme limite, et l'équilibre sera encore possible pour les valeurs de ^ voisines de zéro.

Ainsi, même lorsque la forme du système dépend d'un nombre inlini de variables, une ligure d'équilibre ne peut être une figure limite à moins que l'un des coefficients de stabilité ne s'annule.

2" et ■>" Il resterait à établir les deux autres propositions énoncées plus haut. Ou les démontrerait par une méthode absolument identique. On introduirait dans le système les liaisons

^6) ■'.-■. = [il, .'>.= 'fi^., ..., .?-•„= p„,

de façon que la forme d'équilibre A devienne stable. On trouverait alors que pour

y = ?, a.'i= [il, x„= j3„

le système à liaisons est susceptible d'une position d'équilibre stable définie par les équations

(5) .7:„H, = v«.i([î. ["^1, •••■ ,''»);

Si l'on suppose maintenant les x assujettis à ces équations (5), mais que l'on supprime les liaisons (6), la fonction F ne dépend plus que des (3, la figure du système ne dépend plus que de n variables, (^n est donc ramené au cas

fia SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

(J uu nombre liai Je variables, aiitjuel les propositions énoncées s'applicpienl d'elles-mêmes.

En résumé, il résulte tles considérations exposées dans ce paragraphe que les résultats des paragraphes II et [II s'étendent au cas d'un système dont la figure dépend d'une infinité de variables, et en parliculior nu cas d'une masse fluide soumise à diflérentes forces.

V. — Première application.

MM. Tail et Thomson ont annoncé sans démonstration que, paiini les ligures d'équilibre dont est susceptible une masse fluide animée d'un mouvement de rotation, il y a une figure annulaire de révolution.

On peut démontrer ce résultat en appliquant les principes exposés dans les trois paragraphes précédents.

Je considère une masse fluide homogène égale à M et animée d'une vitesse de rotation &) autour d'un axe quelconque que je prendrai pour axe des z. Je suppose que toutes les molécules de cette masse s'attirent conformément à la loi de Newton. Je choisirai les unités de telle façon que la densité du fluide soit égale à i, et que l'attraction de deux unités de masse à l'unité de distance soit égale à l'unité de force.

Je puis assujettir la masse fluide à afl'ecter la forme d'une figure de révolu- tion. Si l'équilibre a lieu en tenant compte de cette liaison, il arrivera, en vertu de la nature même du problème, que l'équilibre subsistera encore quand elle sera supprimée. Cette liaison ne change pas les conditions d'équilibre, elle n'inllue que sur les conditions de stabilité dont nous ne nous occuperons pas pour le moment.

Soit R la dislance à l'axe du centre de gravité de la section méridienne et -ri; l'aire de cette section. On aura

(l) M = i;i2r2H.

Le plan des xy sera le plan perpendiculaire a l'axe et passant pur ce contre de gravité. J'assujettirai encore, pour simplifier un peu les calculs qui vont suivre, la (igure de la masse fluide à rester symétrique par rapport au plan des xy- H est clair que si l'équilibre a lieu avec cette liaison, il subsistera encore sans celte liaison.

l'onr définir la section méridienne, je me servirai des cooidonnées polaiies p

SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 63

et cp, en |)i'enaiil le pôle au centre de gravité et l'axe polaire dans le plan des xy. Soit

p = /• H- |j l COS Cf + p2 COS 2 9 - ... -H [j,, COS /t ç ~r . . .

l'équation de la section méridienne.

Ecrivons que l'aire de cette section est égale à Trr,^, il viendra

(2) r^^r--^-^.

Écrivons que le centre de gravité de cette section est au pôle, il viendra

(3) '--.31 + r(Pifi5-i- [i2p3-i-...+ (3„p„+, -i-.. . ) -+- S = o,

S étant une série convergente dont les termes sont homogènes et du troisième degré par rapport aux ,3.

J'ai à rechercher s'il existe une ligure d'équilibre peu différente d'un tore. Je dois donc supposer que les j3 sont très petits par rapport à r.

Je supposerai de plus que les rapports r- et par conséquent -^ sont très petits, ainsi que sj.

Cela posé, soit I le moment d'inertie de la masse fluide par rapport à l'axe. Soit

( ■ dm il III

w

=./

l'énergie potentielle duo à l'altraction nevvtonienne (où dm et dm' sont deux éléments quelconques de la masse et A la distance de ces deux éléments).

Soit - I l'énergie potentielle due à la force centrifuge. L'équilibre aura lieu

quand la variation première de l'expression

U = w + ^ I

2

sera nulle.

iVous allons encore introduire une liaison nouvelle. Nous supposerons que /o et par conséquent R sont assujettis à conserver des valturs données. Cette liaison, à la différence des précédentes, change les conditions d'équilibre. Posons

V ' '-0

64 SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Il viendra ('), eu tenant compte de {2).

B -- C -H ^^^^ ( a ri IV' -+- - H rj ) -^ w^ D.

Dans cette équation, A désigne une conslanic lumiérujue qu'il est inutile de déterminer davantage: B est un ensemble de termes contenant ri en facteur: G est un ensemble de termes de degré supérieur au second par rapport aux ,3; enfin D est un ensemble de termes s'annulant avec les 3.

Nous donnerons à A la même valeur dans les é(|uations (4 ) et (5). Il viendra alors

On trouve aisément

1 = - / U-'o- (/s -h 1',- / H-p-' coso i/z -h - - 1 Hp* cos-ç ''r + ~^ 1 p-'cos^ çt/ç. ^11 «-Il "' *^ii ^ it

Mais les équations (2) et (3) peuvent s'écrire

/ p= (/ç. = 2 K ;• j , / p-' cosç c/o = o,

de sorte qu'il reste simplement

D = ^-R I ( pi — rj j cos- 9^/0-4-^ / ( p-' — r^ ) cos= ç c/i. JNous prendrons

de sorte que V sera désormais déterminé.

Comme r„ et R sont provisoirement regardés comme des constantes, le maximum de U aura lieu en même temps (|ue celui de V, de sorte que l'équi- libre de notre système à liaisons aura lieu dans les mêmes conditions que si V était la fonction des forces.

.Supposons que dans V, on fasse r„^= o, il viendra

,, i ^ „/i \ G 1 7t"-oj'^ -^ -ov- r/pf N

^ = 4 ^ --^H" -T^ ÂTTiï ^ :î — -" î — ./ (fe -T"^"^ ''^

('; ^''y(/■ aux .Nolub, iiguici n/uiit/uiix's.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 65

Si nous faisons encore to ;= o, il viendra

Si l'on lient compte de l'équation (3), il vient

E étant un ensemble de termes du second degré au moins par rapport à yo, ys, — On peut donc écrire

F étant un ensemble de termes du troisième degré au moins par rapport

à ys) T3j • • • •

Cette équation prouve que si l'on fait co ^= /„=; o, la fonction V est suscep- tible d'un maximum ([ui est atteint quand tous les y s'annulent. Les coefficients

de stabilité sont

I I I

--I, ^— I, ..., --I, ....

Comme aucun de ces coefficients n'est nul, la forme d'équilibre correspon- dante ne pourra être une forme limite, c'est-à-dire que pour les valeurs très petites de r^ et de w, le système à liaisons considéré sera susceptible d'une forme d'équilibre, pour laquelle les y auront des valeurs très petites. On aura alors pour cette forme d'équilibre

(6) yu= ?/,('-o, w),

(B„ étant une fonction continue de i\ et de u s'annulant avec ces variables.

Il reste à chercher quelle valeur il faut donner à ro pour que l'équilibre sub- siste encore quand on supprime la liaison que nous avions provisoirement introduite, et quand on n'assujettit plus /"o et R à avoir des valeurs données.

Supposons qu'on remplace dans U les y par leurs valeurs (6) et R par sa valeur tirée de l'équation (i). Alors U ne sera plus fonction que de /'o et de w, et l'on aura la condition pour que l'équilibre subsiste après la suppression de la liaison, en écrivant . ^ dl]

Je dis que pour les valeurs très petites de w, il y aura toujours une valeur H. p. — VII. Q

66 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

très potite de l'o pour laquelle celle coiulilion (y) sera remplie. Nous pourrons écrire

(8) U = Ar5log~^ + — P + C.

Les lelires A, a et B désignent des constantes ne dépendant que de M et C un ensemble de termes très petits par rapport aux deux premiers quand To et co sont très petits. Inutile d'ajouter que les lettres A, B et C n'ont plus la même signilîcation que dans la première partie de cette démonstration.

Soit s une quantité très petite que nous regarderons comme constante et qui sera telle que

aAs log — — 3 As = o.

° S-l S"

Nous allons faire varier ;'o depuis 2S jusqu'à zéro. Pour r« ^ 2S, les deux pre- miers termes de l'expression (8) se réduisent à

4A.- logg^ + 3^ A.- log - - - A.-= — A.- log - + S,.

Pour rii = 5, ces deux mêmes termes se réduisent à

..1 « ii„i « 3.„ 4**„i <5f f.

AsMog— + - A.ç= log - — - As"-= — sMog ^ -I- So.

° S'i 2 s' 4 32 ° ^3

Enfin pour /-q^ o, on a U =; -f- 00 . Dans ces égalités, Si et Sa désignent des

termes très petits par rapport a s- log - • On a donc :

pour /•„ ^ 25 :

pour r„ = s

pour r,i^ o

U— ^-— 5Mog-= v"^ '"? J2 s' 32

1 00 . a 52 „ , a

32 ' " 5:1 ^ 32 * '"^ s» ^ -- '

-, 100 , a

2i et 2j sont des ensembles de termes très petits par rapport à 5'- log — > et qui n'influent pas sur le signe de l'expression

1 00 , a

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 67

Celte expression est donc posilive pour /o ^ 25, négative pour ro= .y et posi- tive pour /■o= o. Elle s'annule donc deux fois quand l'o varie de 2S à zéro; sa

dérivée -; — doit donc s annuler une fois dans le inème intervalle.

C. Q. F. D.

Ainsi pour une valeur donnée très petite de w, on peut trouver un système de valeurs de r„ et des y qui satisfasse aux conditions d'équilibre, et cela après suppression de la liaison que j'avais d'abord provisoirement introduite.

11 en résulte qu'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation est susceptible d'une forme annulaire d'équilibre, qui d'ailleurs est probablement instable.

J'ai donné une esquisse de la présente démonslralion dans le Tome 2 du Bullelin Astronomique ('). J'ai donné également dans ce même Volume une façon de calculer approximativement les éléments de celte figure annulaire. L'analyse que j'ai employée pour déterminer ces éléments présente les plus grandes analogies avec celle dont M™" Kowalevski a fait usage dans ses recherches sur lanneau de Saturne;.

VI. — Exemples d'équilibres de bifurcation.

Dans les n"" 27 et 28 du Livre III de la Mécanique céleste, Laplace Iraite le problème suivant : Une sphère solide de densité p et de rayon c est recouverle d'une couche fluide homogène de densité i. Quelle est la figure d'équilibre de cette couche fluide? Quelle sera à l'état d'équilibrt; la forme de la surface libre de celle couche ?

Une des formes d"é(|uilibre est évidemment une sphère concentrique à la sphère solide, auquel cas l'épaisseur de la couche fluide est uniforme.

On peut se demander s'il y en a d'autres. Pour cela appelons

r= «(l-Haj)

la distance au centre d'un point quelconque de la surface libre. On dévelop- pera j^ en série de fonctions sphériques

y = Yo-H Y,-i-. ..-H Y,-H-. . .

(') mCuvri-'s de H. Poincaré, ce Tome, p. 17.

68 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

el réquation d'(W]iiililu-i', comme riiidiquc Ijaplace, page 8- (édition de 18-8), s'écrira

(0 o = [(,_p)5 + 2]Y„-.(,-p);^Y, + [(,-p)g-2]Y. + ...

pourvu loiitetois que l'on néglige le carré de oe.

Quant à l'énergie potentielle, elle a pour expression

W = A -^-:<-^y" [(p,-i )YÎ+ (p,- ^) Yi+. . . j rfo

en négligeant le cube de oc. A est une constante et l'intégrale est étendue à tous les éléments c/w de la surface sphérique {Cf. Résal, Mécanique céleste., i", édition, p. 238). J'ai posé pour abréger

,_p, = (,_p)^£..

Cette expression de W montre qu'on a une forme d'équilibre quand tous les Y s'annulent, c'est-à-dire quand l'épaisseur de la couche lluide est uniforme. Les coefficients de stabilité sont

3 3

Pi — Il pi — 7' •••) pi — ; — ■' ■•••

L'un d'eux s'annulera si l'on a

pi =

V étant un entier positif. A chaque valeur de pi correspond une forme d équi- libre parfaitement définie qui est la sphère. Ces sphères formeni une série linéaire de figures d'équilibre réelles. Si donc l'un des coefficients de stabilité s'annule, c'est que la sphère correspondante est une forme d'équilibre de bifurcation.

Etudions d'un peu plus près ce qui se passe. Dans le u° 27, Laplace suppose que la couche fluide considérée est assujettie à conserver une figure de révo- lution autour de l'axe des z. Dans cette hypothèse, la fonction sphérique Yv se réduit au •>'"""' polynôme de Legendre, de sorte qu'il n'y a qu'un seul coeffi- cient de stabilité qui soit égal à p, ; ( )n est ainsi ramené au cas le plus

simple, celui où un seul coefficient de stabililité s'annule et où la forme de ijifurcalion appartient à deux séries linéaires de forme d'équilibre réelles.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 69

Laplace semble dire qu'il ne peut y avoir en général ([u'iine seule forme

d'équilibre lorsque l'on n'a pas

3

pi =

2V -I- I

el que lorsque celte relation a lieu, il y a deux formes d'équilibre, puisque xy est susceptible de deux valeurs, dont l'une est donnée par la supposition de y = o, el dont l'autre est donnée par la supposition de )• égal au v'"'""' poly- nôme de Legendre.

Ce passage a dû paraître obscur à plus d'un lecteur. En effet Laplace ayant négligé les puissances supérieures de a, ce coefficient n'intervient plus dans l'équation d'équilibre (i); il semble donc qu'on puisse le choisir arbitrai- rement, et alors on n'aurait plus deux figures d'équilibre, mais une infinité, qui seraient comprises dans l'équation générale

,) =XY„

X étant une constante arbitraire et Y,, le v"*™" polynôme de I^egendre.

3 Il semblerait donc que pour les valeurs de pi différentes de — 1 la sphère

serait la seule figure d'équilibre possible, et que pour les valeurs de p, de la forme — j il v aurait une infinité de figures d'équilibre indiiî'érent. Mais les

2V -f- 1 •^ D 1

termes de degré supérieur en x empêchent qu'il en soit ainsi.

Pour les valeurs de pf très voisines de ; — 1 il y a deux figures d'équilibre :

l'une est une sphère, et l'autre est très peu différente d'une sphère. Toutes deux se confondent pour

3

pi =

2V -H I

Il y a cependant une exception; pour v = 1 , on trouve pi = i . La densité de la sphère solide étant alors la même que celle de la couche fluide, le sphéroïde est homogène, el l'équilibre subsistera quand la surface libre, au lieu d'être une sphère concentrique à la sphère solide, sera une sphère dont le centre sera quelconque (pourvu toutefois que les deux sphères ne se coupent pas).

L'équilibre est donc indifférent. I*our pi=i, la figure formée parles deux sphères concentriques esl donc encore une figure de bifurcation, mais on se trouve dans un de ces cas exceptionnels que j'ai signalés au paragraphe IL Celte figure appartient bien encore à deux séries linéaires de formes d'équi- libre. Mais il n'arrive plus, comme cela a lieu d'ordinaire, que pour chaque

70 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

valeur pi voisine lie i, on trouve dans chacune des deux scories une figure d'équilibre et une seule. Une seule des deux séries présente ce caractère; l'autre est une série de formes d'équilibre indifférent qui correspondent toutes au cas de pi ^ I .

Dans le n" 28, Laplace passe au cas où la ligure d'équilibre n'est plus assujettie à être de révolution. Dans ce cas il y a p.v + i fonctions sphériques Y^

linéairement indépendantes. Donc quand p, devient égal à — — i il y a 2v-f-i coefficients de stabilité qui s'annulent à la fois. Donc pour les valeurs de pi très

voisines de ; > il y a non pas deux figures d'équilibre peu dillérentes d'une

sphère, mais un plus grand nombre. Il y en a même une infinité, si l'on tient compte de ce fait que si Ion a une figure d'équilibre non sphérique, l'équilibre subsiste quand on oriente celle figure d'une manière quelconque.

Je pense que ces remarques suffiront pour éclaircir ce qu'il pouvait y avoir d'obscur dans le texte de Laplace.

VII. — Stabilité de l'équilibre relatif.

Il est très facile de trouver les conditions de stabilité de l'équilibre absolu d'un système matériel rapporté à des axes fixes; pour qu'un tel équilibre soit stable, il faut et il suffit que la fonction des forces soit maximum. Mais le problème de la stabilité de l'équilibre relatif d'un système matériel rapporté à des axes mobiles est infiniment plus compliqué. Cette théorie n'a jamais, à ma connaissance, été convenablement traitée que dans le Treatise on Natural Philosophy de MM. Tait et Thomson. Elle repose sur la distinction de la sta- bilité séculaire et de la stabilité ordinaire; j'en vais rappeler les principaux résultats, en donnant sur un point des compléments qui me seront utiles dans la suite.

Supposons que la position du système envisagé par rapport aux axes mobiles soit définie par n variables j"i, x^. . . ., x,,, choisies de telle sorte que l'équi- libre ait lieu pour

j;i = xo = . . . = ,r„ = o.

.Si l'on dérange très peu le système de sa position d'é(|uilibre, les valeurs de Xi, x^i^ . . ., .r„ seront très petites et, si \\n\ néglige les carrés de ces quantités, les équations dilférentielles qui en définiront les variations seront linéaires.

SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 7I

On irouvera donc

x,='^A,„[i, m Je'".' 1 i = 1, ■}, ..., n; m = i, 2, .... 2«).

Dans celle formule les A„i sonl des constanles d'intégration, les [i, m] el Ics/.„i sont des constantes qu'il esl aisé de déduire des équations difTérenlielles du problème.

Si tous les ).„, sonl purement imaginaires, il v a stabilité. Si tous les }.„, ont leur partie réelle nulle ou négative, il y a encore stabilité (et ce cas peut se présenter si l'on tient compte des résistances passives, telles que la viscosité des liquides). Si enfin un des l„i a sa partie réelle positive, il y a instabilité.

F^es X„, sont donnés par une équation algébrique de degré 2n, de sorte que pour trouver les conditions de stabilité, il suffit de discuter cette équation en 1.

Nous supposerons que toutes les forces réelles auxquelles le système est soumis sont les actions mutuelles de ses parties, de telle sorte que le moment de la quantité de mouvement du svstéme soit constant. Parmi ces forces réelles, nous distinguerons les forces indépendantes de la vitesse qui devront admettre une fonction des forces dépendantes de la vitesse, c'est-à-dire les résistances passives dues à la viscosité. Le travail de ces dernières forces doit toujours être négatif.

Outre les forces réelles, le système sera soumis à deux sortes de forces apparentes : la force centrifuge ordinaire, indépendante de la vitesse, el la force centrifuge composée, dépendante de la vitesse; le travail de celte dernière est toujours nul.

Soit T la demi-force vive el U l'énergie potentielle due à toutes les forces indépendantes de la vitesse, y compris la force centrifuge ordinaire. Si nous négligeons, comme il convient de le faire, les puissances supérieures des x el si nous supposons que U soit nul dans la position d'équilibre, T sera une forme

quadratique par rapport aux a:'-=^ —j^ et U une forme quadratique par rapport aux Wi-

Nous poserons selon l'usage

de sorte que les équations différentielles s'écriront

dpj^ __d\}_ >hri _ dT

lù ~~ dxt'^ " ~dt ~ dfi'

72 SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Uaus CCS cqualioos les \i représenlenl renseiiible des ternies provenant des forces dépendantes de la vitesse. Si l'on néglige les puissances supérieures des X, les V slm-ouI linéaires par rapport aux p. Les équations difiérenliellos seront donc linéaires.

Dans le cas de l'équilibre absolu, c'est-à-dire si le mouvement de rolalionest nul, il faut et il suffit pour la stabilité que la fonction des forces soit un maximum, c'est-à-dire que la forme quadratique U soit définie positive.

Celte condition est encore suffisante, mais elle n'est plus nécessaire, s'il y a un mouvement de rotation. Ainsi, pour parler le langage des paragraphes pré- cédents, si tous les coefficients de stabilité sont négatifs, il y aura certainement stabilité, mémo dans le cas d'un mouvement de rotation.

Dans un très grand nombre de problèmes, on peut négliger la viscosité; si dans cette h^-pothèse l'équilibre relatif est stable, il y aura stabilité ordinaire; si l'équilibre reste stable quand on tient compte de la viscosité, il y aura stabilité séculaire.

Il peut y avoir stabilité ordinaire sans qu'il y ail stabilité séculaire; il arrive alors, si la viscosité est très faible, ce qui est souvent le cas, que la figure du système se maintiendra pendant fort longtemps, mais finira toujours par être bouleversée.

Pour qu'il y ait stabilité séculaire, il faut et il suffit que la forme U soit définie positive, c'est-à-dire que tous les coefficients de stabilité soient négatifs.

Les conditions de la stabilité ordinaire sont beaucoup plus compliquées. Bornons-nous à dire que celle stabilité ne pourra jamais avoir lieu si le nombre des coefficients de stabilité qui sont positifs est impair.

Tels sont les résultats très précis que l'on trouve démontrés dans l'Ouvrage de MM. Tait et Thomson. Il y a toutefois une importante restriction à faire et sur laquelle je désirerais attirer l'aUention. L'argumentation de MM. Tail et Thomson repose tout entière sur cette hypothèse que le travail de la visco- sité est toujours négatif (et non pas nul) pour tous les mouvements possibles. Il n'en est pas toujours ainsi.

Supposons par exemple une masse fluide isolée dans l'espace. Si cette masse se déplace sans se déformer, ce mouvement ne sera contrarié par aucune résis- tance passive analogue à la viscosité. Le travail de la viscosité sera alors nul et non pas négatif. Nous devons donc, si nous voulons appliquer le théorème de MM. Tail et Thomson, supposer qu'on a introduit dans le système des

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 73

liaisons telles que la masse fluide ne puisse se déplacer sans se di'^former. Si l'on fait cette hypothèse, la proposition est applicable, et l'on peut dire que les conditions de stabilité sont les mêmes si l'on tient compte à la fois de la viscosilé et de la force centrifuge composée, ou bien si l'on néglige à la fois ces deux forces.

Avant de terminer ce qui concerne cette stabilité de l'équilibre relatif, je dois examiner un cas parti-culier. Supposons qu'à l'état de l'équilibre relatif, le système envisagé affecte une figure de révolution autour de l'axe des z. Pour simplifier l'exposition, nous supposerons qu'à l'état d'équilibre, toute la matière du système soit uniformément répartie sur n circonférences parallèles dont les rayons seront ri, rn, ..., Vn- Soit m une molécule appartenant au parallèle de rayon r,-. Supposons que l'on déplace cette molécule de telle façon que sa distance au plan des xy augmente de s,-, sa distance à l'axe des z augmente de a,- et qu'enfin le dièdre du plan mOz avec le plan xO z augmente de — '• Si les quantités ?<,-, Zi et r,- sont les mêmes pour toutes les molécules

d'une même parallèle, le système adeclera encore, après cette déformation, une

figure de révolution. Si l'on suppose de même que —r^ = u\

sont les mêmes pour toutes les molécules d'un même parallèle, la demi-force vive totale du système a pour valeur

A(, A2, ..., A„ étant n constantes que nous regarderons comme données. Enfin l'énergie potentielle U ne dépendra que des u et des 5, tant que les quantités m,-, c, et Zi conserveront la même valeur tout le long d'un parallèle. Les équations du mouvement seront alors, en supprimant toute viscosilé :

r/-ui d\} ,'/•'/ , <^I'-Vi . dui , d-Zi d\i

^'~rrr =— Zi iKiW-j-i A,— ^— = 2 A, (0—7-, A,— ;— = j-t

dl- diii dl dt- dt dr- dzC

w désignant la vitesse angulaire de rotation due au mouvement d'entraînement. Ces équations sont linéaires en «/,, c, et Zi. On y satisfera en posant

Ui=aiCOS/.t, ;,= 6,cos?. ;, (',= 2 a,- r- sin Xz

et une condition nécessaire pour qu'il y ait stabilité, c'est que les valeurs de 1

qui permettent de satisfaire de la sorte à nos équations différentielles soient

toutes réelles. On voit par ces équations que si les conditions initiales du mou-

H. P. - VII. ,0

ditj I dvi I dzi

~dt '^'^''~dt~^'''dt

^4 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

veinent sont toiles que «,-, c,, :;/, u\ , v\ , z\ soient les mêmes toul le long d'un parallèle, il en sera encore de même au bout d'un lemps quelconque et le système restera de révolution.

On [)ourra trouver pour >, un certain nombre de valeurs distinctes que j'appellerai ±: ).i, ± Xj, ... el l'intégrale générale des é([uations proposées en supposant ijue le système reste de révolution sera

Ui= 2,^P"'P COS(Apt-\-Ef,),

(I)

:,■ = V B;, 6,7, cos ()./,/-!- £/,)>

/'

<■/ = 2 <o^ B,, Y^ ?iii ( >v' ' + £/>)>

les B/, et les s,, étant 2/) constantes d'intégration. Mais on doit avoir

T-+-U = C,

C étant une constante. Il est facile de voir que si U n'est pas une forme définie positive, on peut choisir les conditions initiales du mouvement de telle sorte que la constante C ait le signe que l'on veut. On trouve

T = Do-f- 2Dpros2(X^Z + £,,) + S D;,^ cos[(X,, -1- X,)< + £^-4- E,]

(j = Eo+ 2E^ cos2().p« H- i,,)-h S(E/,^ ou E^,./ ) cos [( À,, -4- 1^)1 -+- ip±s^].

On a donc

Do + Eo = G, D,, -+- E^ = o, Dp^ -h iip.f = o, D^„, + E^„^ = o.

On trouve d'ailleurs en faisant attention à la nature des formes T et U et à la forme des équations (i) :

D„= ^BJ-ï^p, p

2 Eo = 2 B/, A , ( 'i.'j, afp + XJ, bfp -\- \ m"- afp ).

2 '^'/' = — 2 ^'^ '■'^ "'> "*" '''' ^'^' ~ '' "'' "''' ^'

SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. 76

On lire de là

(2) DoH-E„-2B;,(D,,h-E,,) = SB^A,/.M«,>+6,7.),

el d'autre pari

Do+ E„- SB^(D,,-i- E^) = C.

Les coefficients A,- sont essentiellement positifs. Si donc les l^ sont tous r(^els, le second membre de (2) est essentiellement positif. Mais nnus avons vu que C peut devenir négatif à moins que la forme U ne soil définie positive. Si donc cette forme n'est pas définie positive (au moins tant que le système est assujetti à rester de révolution) il ne peut y avoir stabilité.

Cette démonstration se trouve, sauf la forme et les notations, dans la Méca- nique céleste de Laplace (Livre i\', Chap. II, n° lA).

On doit donc conclure que si un système affecte, à l'état d'éijuilibre relatif, une figure de révolutiou, cet équilibre ne jouira pas même de la stabilité ordinaire, si l'équilibre du système n'est pas stable quand on supprime la force centrifuge composée et qu'on introduit des liaisons assujettissant le système à rester de révolution autour de l'axe des z. II faut toutefois observer à quelle condition ce théorème de Laplace est applicable. II pourrait se faire que l'un des 1 fût nul et alors le raisonnement précédent tomberait de lui-même. Il pourrait y avoir encore stabilité en ce sens que la figure extérieure du système demeurerait toujours très peu différente de la figure primitive; mais les divers parallèles tendraient à tourner avec des vitesses différentes.

Il reste à examiner si les théorèmes établis dans les paragraphes précédents subsistent encore dans le cas de l'équilibre relatif. Le premier d'entre eux, d'après lequel, si un des coefficients de stabilité change de signe quand on suit une série linéaire de figures d'équilibre, la forme correspondante est de bifurcation, subsiste évidemment, car le mouvement de rotation et la force centrifuge composée ne changent pas les conditions d'équilibre et n'ont d'influence que sur les conditions de stabilité.

Quant au second théorème, c'est-à-dire au principe de l'échange des stabi- lités, il subsiste encore en ce qui concerne la stabilité séculaire dont les condi- tions ne sont pas non plus changées par la force centrifuge composée.

Il subsiste même en ce qui concerne la stabilité ordinaire, mais seulement à la condition qu'un seul des coefficients de stabilité s'annule à la fois. Nous avons vu en effet qu'il ne peut y avoir même stabilité ordinaire quand un seul coefficient de stabilité (ou plus généralement un nombre impair de ces coeffi- cients) est positif et les autres négatifs.

76 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

VIII. — Fonctions de Lamé.

Après ces longs prolégomènes, j'arrive à l'objet principal de ce travail.

Nous nous occupons de délerininer la forme d'équilibre d'une masse lliiide homogène dont toutes les molécules s'attirent d'après la loi de Newton et qui est animée d'un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe des z. Si nous ne nous occupons que des conditions d'équilibre en laissant de côté la question de stabilité, nous n'avons pas à tenir compte de la force centrifuge composée, et nous pouvons traiter le problème comme s'il s'agissait de l'équilibre absolu d'une masse ILiide soumise seulement à l'attraction nowlonienne et à la force centrifuge ordinaire.

Nous connaissons déjà plusieurs séries linéaires réelles de ligures d'équi- libre, ce sont les ellipsoïdes de révolution et les ellipso'ides de Jacobi. La figure de ces ellipso'ides dépend de la vitesse angulaire de rotation w qui jouera ici le même rôle que jouait le paramètre k dans les paragraphes II, IH et IV.

Nous pouvons, sans restreindre la généralité, imposer à notre masse fluide certaines liaisons. L'axe de révolution que nous avons pris pour axe des z, peut être regardé comme fixe. Nous regarderons également comme fixe le centre de gravité de la masse. Cela ne suffit pas encore pour notre objet; si l'on se bornait là en effet, on pourrait faire tourner l'ellipso'ide de Jacobi d'un angle quelconque autour de l'axe des s sans que l'équilibre cesse. Ou aurait donc pour chaque valeur de w une infinité d'ellipso'ides à trois axes inégaux qui satisfe- raient à la question. Afin d'éviter cette circonstance, qui sans pouvoir causer de véritables difficultés, nous gênerait dans l'exposition, nous assujettirons notre système à une liaison de plus, en supposant que le plan des xz soit un des trois plans principaux d'inertie. 11 résultera de cette hypothèse que si un ellipso'ide à trois axes inégaux satisf;iil à la f[uestion, ses trois axes d inertie seront les trois axes de coordonnées, cl de plus le même ellipso'ide satisfera encore à la question quand on l'aura fait tourner de 90° autour de l'axe des z.

Dans ces conditions, voici les résultats bien connus de la discussion des équations d'équilibre.

Quand w'- croît depuis zéro jusqu'à 47rXo,0()3, il y a quatre ellipso'ides qui satisfont à la fjueslion, à savoir doux ellipsoïdes de révolution et deux ellipsoïdes de .Jacobi. Ces deux derniers ne dilTcrenl l'un de l'autre que par leur position, et l'on passe de l'un à l'autre par une rotation de r)o° autour de l'axe des s.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 77

Pour 0)2= 4^1 X 0,093, les deux ellipsoïdes de Jacobi se confondeal entre eux el avec un des deux ellipsoïdes de révolution que nous appellerons l'ellipsoïde E.

Quand co^ croît de /^n x 0,0098 à 471 X 0,112, il y a deux ellipsoïdes de révolution qui satisfont à la question.

Pour co2^47'XO)'i2 les deux ellipsoïdes de révolution se confondent en un seul E'.

Pour Cl)- > 4^^ X o, I 12, il n'y a plus d'ellipsoïde satisfaisant à la question.

Pour parler le langage des premiers paragraphes, il y a quatre séries linéaires de figures réelles d'équilibre depuis w-^o, jusqu'à ci)'- = 47r X 0,09; il n'y en a plus que deux depuis to- = 4^ X 0,09 jusqu'à w- = ^n x 0,0 1 1 , et il n'y en a plus du tout à partir de cette dernière valeur.

L'ellipsoïde E' est une forme limite puisque, en faisant croître to-, on voit les deux ellipsoïdes réels de révolution se confondre a\ec E' pour devenir ensuite imaginaires.

L'ellipsoïde E est à la fois une forme de bifurcation, (puisqu'il appartient à la fois à la série des ellipsoïdes de révolution et à la série des ellipsoïdes de Jacobi et une forme limite, (puisque, en faisant croître w-, on voit les deux ellipsoïdes réels de Jacobi se confondre avec E pour devenir ensuite imaginaires).

( )utre les ellipsoïdes, on sait qu'il existe des figures annulaires d'équilibre, dont nous avons parlé dans le paragraphe V. Nous nous proposons de rechercher s'il existe en outre des séries linéaires de figures convexes d'équi- libre non ellipsoïdales. Pour cela nous chercherons à reconnaître si parmi les ellipsoïdes de révolution et ceux de Jacobi, il y a des formes de bifurcation.

Pour arriver à ce résultat, il faut calculer les coefficients de stabilité de ces ellipsoïdes et rechercher dans quels cas ils s'annulent. On verra plus loin que ces coefficients dépendent des fonctions de Lamé, mais nous allons d'abord rappeler les résultats si remarquables des travaux de Lamé el de Liouville au sujet de ces fonctions.

Nous emploierons dans ce qui va suivre les notations de Liouville dans ses lettres à Brachet (/. Math, pures et appl., 1™ série, t. 11, 1846). Rappelons ces notations.

On donne à l'équation de l'ellipsoïde considéré la forme

^ -f- ■/"., -4- /" , =1 (C2>62)

p2 pi — 0- f- — c-

78 SUR l'équilibre d"une masse fluide en rotation.

el l'oii dëlinit la posilioii d'un point sur cet elli])S(jïc]e par les deux autres coor- données elliptiques p. et v.

Une fonction de Lame d'ordre n est une fonction R de l'une des quatre formes

R = P„, R = ^,y_6=p„_,, R = v'f-i-c-^P,,-,, R = \/{f'-b-^){f--c-^) P„_2

(où P„ désigne un polynôme de degré n en p) et satisfaisant à l'équation différentielle

(>) (P— 6^)(P— c=)2+(2p-^-6^-c=)p^ =[«(«+i)p-^-B]R

(B étant une constante convenablement choisie).

Avant d'aller plus loin, indiquons quelles sont les diverses formes qu'il peut être utile de donnera l'équation (i).

Nous poserons

pi = y/p- — 6-, p2 = V'p- — c- ; R = pTo= p[Ti = p2T2= p, P2U0 = PP2U1 = ppi U2.

L'équation peut alors se mettre sous la forme générale

(1') (<!'-+- /"J' + 9) -^ + (^''+ PO' ^ =(lla"--t-K)V.

Dans celte équation générale, cr représente l'une des variables p, pi ou pa, et V l'une des sept fonctions R, ï ou U. On a d'ailleurs

a = 2, Il = «(/i + i) si V = R;

ï = 4, H = „(„H-,)_2 si V = T; a = 6, Il = /i(/i-i-i) — 2 si V = U.

D'autre part

/> = — (6-+C-), q = b'-c'- si <T = p ;

p = ib- — C-, q =— b-{c-— b'-) si 'j=pi;

p = 2C- — b-, q = c'-{c-^b'-) si a = po.

Si par exemple cr = p, on obtient :

^ = p, si V = R,

'^ = p — le'-. si V = Ti,

p = 3/), si V = U. Enfin on trouve

K=— B, si V = R, !i = p;

K= — (B — c2), si V = T|, " = ?;

K=-(B-9), si V = Uo, a==p;

K = — [H -+- n(/î -Hi)^2], si V = R, 1 = pi,

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 79

Pour achever de définir la fonction R, nous supposerons

lira — = I pour p = 00.

A chaque fonclion R correspondent deux fonctions M et N que l'on obtient en changeant dans R, p. y/p- — b- et ^p'- — c- en p., ^p.- — b- et y/C- — fx-^ en ce qui concerne M, et en v, y/6'- — v-', y/c- — v'- en ce qui concerne N.

A chaque fonclion R correspondra en outre une fonction S de p définie par l'équation

S = (2« + i)R f ''^

et satisfaisant comme R à l'équation (i). Liouville pose de plus

P h

1 =

P v/(p2-6'-)(p---c-^) v'(P'-6'^)(p--c-) v^(p---K-)(p''— v'O

P est la distance du centre de l'ellipsoïde au plan tangent. Liouville trouve ainsi les équations suivantes :

rrl'WW d<,y' _ 4-RSiVlN

Dans celle équation (2) on considère deux points de l'ellipso'ïde ayant pour coordonnées elliptiques p, }!., v et p, p.' et v'; M, N et / sont les fonctions définies plus haut de [x et de v; M', N' et l' sont des fonctions correspondantes de p.' et de v'; A est la distance des deux points p, v et p.'', v'; rftij' est un élément de la surface de l'ellipso'ïde ayant pour centre le point p', v' et l'intégrale est étendue à tous les éléments diJ de l'ellipso'ïde.

Liouville trouve encore (3) /J'/Mi\M,Nir/oj = o,

où (io) est un élément de l'ellipsoide; /, M, N, Mi et N, les fonctions définies plus haut des coordonnées p. et v du centre de cet élément. M et N sont deux fonctions de Lamé conjuguées; Mi et Nj sont deux autres fonctions de Lamé également conjuguées, mais qui doivent être différentes des premières.

Liouville démontre de plus que la fonction R est constamment positive et croissante quand p varie depuis +c jusqu'à +00. Pour les valeurs p = o,

p = ±6, />= i:c, une des deux fonctions R ou -7-\/'{^'- — b-) (p'-' — c'-') doit s'annuler.

8o SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

Il me reste à parler des équations qui diitcrminent la conslanle 15.

CKerclioas quelle est la condition pour que l'équation (i') soit satisfaite par un polvnome de degré A, (où X = «, si V = R; ou n — i si V = T; on n — 2 siV = U).

Posons à cet effet

\' = a^ -I- Y i a'~- -H y» s'"'' -H • . • + ".'x cr^'"-"-

Nous prendrons X^2/. si 1 est pair et À = 2/. + i si A est impair. Nous trouverons alors en substituant ce polynôme à la place de V dans l'équation ( 1') et idenliliant les deux membres

<I>7,,-, -t-(/.'r— k)-;i-\- î 87,-1 = o

il> = ( ), — 2 £ — 2 ) ( À — 2 J -t- a — 3 ) — H (4) { I [i\ (' = 0, I, 2, ...,x).

1' =/>(>■ - 2î') y- - 2 j - n- j- j

\ e =(>. — 2t -t- 2)(X — 2t -m;

L'équation (4) est une sorte de relation de récurrence qui permet de calculer. de proche en proche les coefficients y, en parlant des valeurs initiales "u^ ', Y_j^o. On trouve ainsi yt sous la forme d'un pol_ynome de degré i en A". Comme on doit avoir -'x* 1 ^ o, la valeur de k (et par conséquent celle de B) se trouve donnée par une équation algébrique de degré x + i.

Nous avons vu plus haut que la fonction R peut prendre l'une des quatre

formes

K=I'„, R= v/F^^6^P,,-,,

A ces quatre formes correspondront quatre équations en B qui seront respecti- vement de degré

si n est pair, et de degré

n	n		n
— t		et
2	2		2

I n-

— et —

si n est impair, et (jue j'appellerai pour abréger (Ej), (Eo), (E;,) et (E..,). Pour former l'une de ces quatre équations, on formera l'équation (i') de façon que la fonction V doive être un polynôme entier et l'on en déduira les équa- tions (4) correspondantes. Il est à remarquer que chacune de ces quatre équations peut être ainsi construite de trois manières différentes. En ellel,

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 8i

pour chacune de ces quatre formes de la fonclionRon peut écrire l'équation (i) de trois manières différentes, selon que l'on choisit pour variable indépen- dante p, Pi ou P2.

Lamé a démontré que ces quatre équations (E) ont toutes leurs racines réelles. Liouville, en rappelant ce résultai, ajoute que la méthode de Sturm y aurait conduit plus rapidement. Comme il ne donne pas d'autre détail, il ne sera peut-être pas inutile d'éclaircir sa pensée par quelques explications.

Si l'on revient aux équations (4), on verra que le coefficient O y est toujours négatif et le coefficient 0 toujours positif. Si donc on suppose que q soit négatif, les fonctions y,- qui sont, comme on l'a vu, des polynômes entiers de degré / en B, jouissent de la propriété caractéristique des fonctions de Slurm, c'est-à-dire que, quand •-, s'annule, y,+i et yi'-i sont de signes contraires. On voit de plus que si le coefficient de /.' dans yj est positif, le coefficient de A'*' dans y,_Hi sera négatif et réciproquement. On peut donc appliquer le raison- nement de Sturm à la suite yx+i, yx, • • •> '{-i, yii yn- Mais on peut toujours supposer que q est négatif; il suffit pour cela de prendre pi pour variable indé- pendante. C'est ainsi que la méthode de Sturm est applicable aux équations qui nous occupent.

D'ailleurs, si q est négatif, et si l'on élimine les y entre les équations (4) par le moyen d'un déterminant, l'équation (E) ainsi obtenue aura la même forme que « l'équation en S » que l'on rencontre quand on recherche les axes principaux d'une surface du deuxième ordre.

Voici une autre démonstration du même théorème, que je crois nouvelle et qui pourra nous être utile.

Dans le cas de h- = c-, on a ainsi que Liouville l'a montré :

]i = [n{n ~\- i) — i'^]c' (i = o, i , 2, . . ., n), i

_ _ ( p'- — c" )- rf'+"(p2— c')"

~ ln{2n —\) . . .{n — ' -(- i ) rt'p'+''

Dans le cas de b- = o, on a

B = j2 c - ( J = o, I , J ,...,« ),

i

j(^ (pl-^c-y di+"{fl-\-c"-)

iniyin — :)...(« — f-Hi) f/p' *-"

Ainsi pour 6-= c^ les racines des équations (Ei) et (E,-, ) sont

/l(/l-Hl)c-, [«(« -hl) — 4]c-, ..., [«(« H- i) — 4^"-]c- (2A-^«),

H. p. — VII. II

/03fc7

82 SUR LÉQUILIBKE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

ei celles des équations (E^) el (E;, ) soûl

( /)(« -H O — i]c-. f n(«, H- i) — i)|c- I /M n -H r 1 — (■iA- -+- I )■- |c- (■> /i -h i -_:^ n).

Ainsi si l'ou envisage seulement les équations (Ei) et (E^) par exemple, les racines de ces deux équations seront toutes réelles et se sépareront mutuel- lement.

Faisons varier b- d'une manière continue depuis su limite supérieure c- jusqu'à sa limite inférieure zéro. Les racines des deux équations (E,) et (Ej) varieront d'une manière continue. Pour qu'elles cessassent d'être toutes réelles, il faudrait que deux racines de (Ei) ou deux racines de (E,) devinssent égales. -Mais pour que cela fût possible, il faudrail d'abord que les racines des deux équations cessassent de se séparer mutuellement. Pour qu'elles cessassent de se séparer, il faudrait (|ue l'une des racines de (E| ) devint égale à ime des racines de(Eo:).

Or je dis que cela est impossible. Soit en ellét B une racine que nous supposons appartenir à la fois à (E,) et à (Ej) et envisageons l'écjuation (i) correspondante.

Celte équation admeltia deux intégrales, l'une de la forme 1',,, l'autre de la forme \/ o- ^ c- l'/,^i. Soient 11 el lii ces deux intégrales. On peut former uue équation linéaire du troisième ordre, à coefficients rationnels et admettant pour intégrales les cari-és des intégrales de (i). Un système fondamental d'inlégrales sera R-, RRi et R^. Cette équation admettrait donc comme intégrales deux polynômes entiers R- et Pif essentiellement distincis.

Mais l'équation (i) admet, oulre l'intégrale R, l'intégrale S définie plus haut

el qui est telle que

liniSp"'' = i pour i = x.

L'équation du Iroisiéuie ordre dont nous venons de parler .ulmeltra donc comme système fondamental d'intégrales R-*, RS, S-. Si nous convenons de dire qu'une fonction F de p est de degré/» en p si le rapport de F à p'' tend vers une limite finie quand p croit indéfiniment, il résulle de ce qui précède que les trois intégrales R-'. RS el S- sont respectivement de degré 2/(, — i et — (2/1 + 2). Une intégrale quelconque de l'équation du troisième ordre sera uue combinaison linéaire de K-, RS et S'-'; elle sera donc, à moins d'être identi- •juement nulle, de l'un des trois degrés 2 n, — 1 et — (2/4 + 2).

Or R- — -RJ qui est une de ces intégrales, ne peut être ni de degré — 1 , ni de degré — (2/1 + 2) puisque c'est un polynôme entier; ni de degré 2/i, puisque

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 83

le premier terme de R- esl p-" de même ((ue le premier Icrme de R^, de sorte que les termes de degré 2.11 disparaissent dans R- — R^. Il faut donc que

li^— h; = o (.11 U = Ki,

ce tjui esl impossible et contraire aux h\potliéses faites plus Laul. Nous devons donc conclure que les racines des écpiations (E,) et (E2) sont toutes réelles et se séparent mutuellement, (pielle que soit la valeur dt^ b-.

Cela va nous permettre de distinguer les unes des autres les diverses fonctions R.

Nous écrirons R,*,. L'indice supérieur /, sera égal à 1, 2, 3 ou 4 selon que R sera de la forme

P„, ou \ p'- — 6-P„-_i, ou v'p" — «-''-r',,— 1, ou y/(p- — 6'-,)(p- — c-)l'„_2.

L'indice n indiquera le degré de la fonction R, cnlin l'indice / devra être choisi de telle sorte que R,,,- se réduise à

A (p- — c- )- U''+" ( p- — c- )" pour b" = c-,

A désignant un coefiicient constant dont on Irouvera plus haut la valcm-, et le signe D'^" exprimant qu'on doit elVecluer « '+ 71 dilVérentiations par rapport à p. On voit aisément d'après ce qui précède que la fonction R',f| est parfaitement déterminée. Pour b- ^ o on trouve

Ht,V,= A(pS-c-^f D/+''(pi + c=)",

oii j a une valeur que nous allons déterminer.

On voit aisément que i est pair si A' =1 ou 4 et impair si A" =^ 2 ou 3; tandis que j est de même parité que n, si A = i ou 2 et de parité différente si k = 3 ou 4- De plus, pour une même valeur de A", les valeurs dey devront croître quand celles de i décroîtront. On a donc :

si A' = I ou 3 : 1 -t-y = « ; si A: = 2 ou \ : i -h J = n -+-i.

Nous pouvons déduire de là quelques propriétés des fonctions R. Combien l'équation

(5) iv/;',= o

[où le preuiier membre est supposé débarrassé du facteur radical y'p- — b', y^p- — c- et y/(p^ — ^^) {p^ — (^')' qu'il pourrait contenir, ainsi que du fadeur p

84 SUR l'équilibre dune masse fluide en rotation.

s'il Y 1* lii'iij auia-l-elle de racines réelles et conimenl ces racines seront-elles distribuées? Nous prendrons pour inconnues p- et non pas p. Faisons d'abord 6'=c-. Ou verra que l'éiiualion admettra l racines égales à c- et n racines comprises entre zéro et c'-.

Si nous faisons ensuite b'^o, on verra que rétiualion admelira ï' racines égales à zéro et yj' comprises entre zéro et c-'.

Les valeurs des nombres 5, t), ^' et r/ noiis seront données par le tableau suivant, où la première colonne donne la valeur de /.', la seconde le reste de n à 2 et les ([iiatre autres les valeurs des quatre nombres : i — ai;, n — i — 2/),

/ — 2^', n—j — in.

I . o. (I. 11. (1. o ;

I . 1 . o. I , I , o;

:>.. o, I, I. ■<, ci;

2, I, I, I), I, o;

3, ". 1 , I . I , I ; ,3 , I , I , (I , o . I ;

4, o, 2, o, I, i; 4, I, 2, 1, >, I.

Ce tableau montre que l'on a toujours

Qu'arrive-L-il maintenant pour les valeurs de b- comprises entre zéro et c^ ? Pour une pareille valeur, l'équation ne peut avoir de racine multiple, car si

pour une certaine valeur de p, R et -3- s'annulaient à la fois, le coefficient

/2 R

de —7^ dans l'équation (1) devrait être nul également, ce qui entraînerait

(j- = /;- ou C-.

D'autre part aucune des racines de l'équation ne peut être égale à zéro, à b'^ ou à C-; car si l'on forme l'équation déterminante de l'équation (i) pour les points p = ± 6, p =± c, on trouve que les racines de cette équation détermi- nante sont zéro et -• D'ailleurs, comme on a supposé qu'on enlevait dans

l'équation (5) le facteur p s'il s'y trouvait, il ne pourrait arriver qu'il y restât ensuite, que s'il y entrait au carré avant qu'on ne l'eût enlevé. Or nous venons de voir que cela ne peut être.

On doit donc conclure que lorsque b- décroît depuis c- jusqu'à zéro, l'équation (5) aura ci racines réelles entre zéro et />- et /)i racines réelles entre 6^ et c^ et que ces deux nombres ^j et yj, demeureront invariables.

SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 85

l'oiir 6-^ c-', il arrivera que les rn racines comprises entre b- et c- devien- dront égales à c-; on pourrait supposer aussi qu'un certain nombre de racines d'abord imaginaires, ou non comprises entre 6- et c- tendent aussi vers c- quand h- tend vers c-, de sorte qu'on aurii

Quant aux l, racines comprises entre zéro et b-, elles resteront comprises entre zéro et c'; on pourrait supposer toutefois que quelques-unes d'entre elles se réduisent à r-'; on aura donc

Supposons maintenant que b- tende vers zéro; il arrivera que les tj racines et peut-être d'autres tendront vers zéro, et (pie les rn racines resteront comprises entre zéro et c-, quelques-unes d'enire elles pouvant se réduire à zéro. ( )n aura donc

Mais si d'autre part un observe que l'on a on verra qu'on doit avoir constamment

'^ii — ; — ^ r 41 — ç = r,.

Il en résulte que l'équation (5) a toujours toutes ses racines réelles et comprises entre zéro et c-; quant au nombre de racines comprises entre zéro et 6-, ou entre //- et r- . il est donné par le tableau précédent.

Si pai' exemple n est pair, l'équation RJ/!=o aura — — racines comprises

entre zéro et b- et - comprises entre 6-' et c- (').

Je ne veux pas, pour le moment du moins, m'étendre plus longtemps sur les propriétés générales des fonctions de Lamé; je me bornerai à rappeler les deux résultats suivants qui sont bien connus.

En premier lieu, B est toujours compris entre zéro et n(n -+- i)c'-.

En second lieu, une fonction quelconque de y. et de v, pour les valeurs de v comprises entre zéro et b- et pour celles de p. comprises entre b- et c-, peut

C) Ces résultats ont clé donnés par M. Klein, i|ui y a été conduit par des considérations un peu diOrérentes.

86 SUR L'EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

luijoiirs l'-tro (ltWelop|)(^e en une séri(> de la forme iA,M,N,, où A, désigne nii coeflicieul constant, pendant que M, et N,- désignent doux fondions de Lamé conjuguées de fx et de v.

IX. — Détermination des coefficients de stabilité.

Considérons un ellipsoïde fluide et homogène en équilibre sous l'action de l'altraclion newtonienne et de la force centrifuge. Supposons qu'il subisse une déformation infiniment petite, sans que son volume change, et cherchons à évaluer le travail des forces qui agissent sur le corps pendant cette déformation

infiniment petite. Soit

X'- r- :■-

p- p2 — /y- p- — c-

l'ellipsoïde envisagé et soient ;j. et v les coordonnées elliptiques qui définissent la position d'un point sur cette surface. .Soit Ç la distance de l'ellipsoïde à la surface déformée comptée sur la normale à l'ellipsoïde; soit ^ la résultante de l'attraction el do la force centrifuge en un point de la surface de l'ellipsoïde à l'étal d'('quilibro; cette résultante est comme on sait normale à l'ellipsoïde. Soit enfin d'j) un élément cpielconque de la surface de l'ellipsoïde. Pendant la déformation, une molécule quelcon((ue peut être regardée comme soumise à trois forces : à l'attraction de l'ellipsoïde supposé fixe, à l'attraction du bourrelet infinitésimal formé par la dillérencc entre la surface déformée et l'ellipsoïde, el à la force centrifuge. Si nous considérons un point matériel (pelconque de masse i et que nous appelions A sa distance à Lin éloineut (pielcon(|ue dm' de la masse de l'ellipsoïde et r sa distance à l'axe dos j; si nous posons (')

/" '//ti (')- /■'-

la variation de V mesurera précisément le travail des forces agissant sur ce point matériel et ducs à l'attraction de l'elli()soïde et à la force centrifuge, en laissant de côté l'attraction du bourrelet dont nous venons de parler.

Il résulte des hypothèses faites, (pie sur toute la surface de l'ellipsoïde, la fonction V a uuo valeur constante fpie nous appellerons V,,. Si au lieu d'un

(') On remarquera que je désigne par w la vitesse de rotation et par rfio un clément île rcllipsoïde; par \i. une des coordonnées elliptiques et par d[i. un élément du bourrelet. Il n'en peut résulter aucune confusion, puisr|uc les iliirerentielles de w el de \i. nVnlrcnt p.is rians li' calcul.

SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 87

point situe sur l'ellipsoïde, nous envisageons un point M intiniment voisin de cette surface, nous abaisserons du point M sur l'ellipsoïde une normale MM' de longueur infiniment petite 1. La valeur de la fonction g au point M sera préci- sément aussi la valeur de la dérivée de la fonction \, estimée suivant la nt)rmali'. ( )n aura donc au point M, en négligeant les inliniinent petits du deuxième ordre

Quelle est maintenant l'énergie potentielle totale de la niasse fluide déformée ?

,,,.,,,, . , .1 rrdtndin , , ,

L énergie due a 1 attraction seule aura pour expression - // dm et dm

étant deux éléments quelconques de la masse lluide et A la dislance de ces deux

éléments. L'énergie due à la force centrifuge sera / ~r'-dm, r étant la

distance de l'élément dm à l'axe des .:. r..e double de l'énergie potentielle totale sera donc

y. \\ = // / ft'r-i/iii.

J'appellerai W,, la valeur de W dans l'étal d'équilibre, c'est-à-dire quand la figure de la masse fluide se réduit à l'ellipsoïde.

Mais nous devons distinguer parmi les éléments de la niasse fluide, les éléments de l'ellipsoïde que j'appellerai dm et dm' , et les éléments du bourrelet que j'appellerai rffjt et d[i.' . Parmi ces éléments, il j en aura de négatifs, puisque, le volume ne changeant pas pendant la déformation, on doit avoir

On a donc

,,, (Tdmdni {T dm du! (T dm d\x fP du. dii.' T „ , , C

.^V^„=ffËIIll!!!^^f,y.,.dm,

ce fpii peut s'écrire

«r -ixr H' dm' d\x r . , , /r^'!^'^.^

2 W = 2 Wo + 2 |/ ■—- -!- / to- r- d[x -^ Il ,

OU puisque

„ f" dm' (')- r-

on aura

' dix d'x'

) \N = o VV„ -I- 9 I \' d\x — Il

88 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

Considérons un élf^monl (|uelconque d(<i île la surface de l'ellipsoïde. Menons par les divers points de cet élément des iioriimles à l'ellipsoïde. Nous aurons ainsi déterminé une sorte de cylindre inliniiiienl délié et dans lequel nous découperons une tranche infiniment mince en le coupant par deux plans situés à des dislances À et >. -j- d'i. du cenlie de l'élément d(^ et parallèles au plan de cet élément. Si ')■ est compris entre zéro et i^, la tranche ainsi découpée dans ce cylindre appartiendra à notre bourrelel; co sera un de nos éléments c?p., de sorte que nous pourrons écrire

Nous écrirons de même

iNous aurons donc pour trouver 1 expression de VV à calculer les deux intégrales

' '/À (Al) li'h' </(!)'

fvdXcho et jj '■

Mais ?i étant très petit, on a comme on a vu

ce qui donne pour la première intégrale

/ Vu dix — f S '■ "'' ^"•

Le premier terme est nul; le second peut s'écrire

- \ s "'"^ / '■ "''■ ou bici] — I è> v

(fu).

Il reste à calculer la seconde intégrale. Nous remarquerons que \ et ^' étant très petits, on peut considérer A comme représentant non pas la distance des éléments dp. et rfp.', mais celle des éléments du et dw qui en didère très peu. A est alors indépendant de \ et de /.' et l'on peut écrire

fP djj. dix' ^ jV dM f/oj' ;"^^^ f^ d)'= if ''^" '^"'' '''''

Il reste donc finalement

\v w ^ r y. I , ' (rdi,idM'tX:

w = w„ --js^- ''"' + - jj — ^— ■

Avant d'aller plus loin, il faut calculer g. La force g peut être décomposée en trois composantes dirigées suivant les trois axes des x^ des y et des z. La composante parallèle à l'axe des x par exemple, est parallèle à la coordonnée x du point d'application. De mêmi' pour les >\v\\\ autres composantes.

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. fi.)

Si donc on appelle a, 5, y les cosinus directeurs de la normale cl A', A', A" trois constantes, on aura

gy. = kx, i^H = k'y, g"; = k" z. Mais l'équation de l'ellipso'ide est

ce qui donne

b- 0- — c-

a = :î p B = - p

p =

/

On a donc

S- 1

Arp-: _ k'(p-^—ù') _ k"{'S^—c-)

Si nous reprenons les notations du paragraphe précédent et que nous écrivions

/= , '' =,

p \/p- — 6- ) ( p- — c- ,1

il viendra

K. étant nue nouvelle constante ne dépendant que de &, b et c.

Il reste à déterminer cette constante. Pour cela il suffit de calculer l'expression de ^ à l'exlrémité de l'axe des z\ dans ce cas, ^ se réduit à l'atlraclion dt^ l'ellipsoïde et peut s'écriic

II- du

4rpv/p^-6HV-'^^ /

\ [ p- — c- -I- ( c- — 6- ) u- ] ( p'- — c2 H- c- u- ) D'ailleurs on trouve aisément

1= ' ■

Il vient donc, par une transformation simple de l'intégrale,

^/ = 4-(p-— f-) / , ' ' ^=-

La fonction \/p- — c- est une fonction de Lamé que nous appellerons R, ; c'est d'ailleurs la fonction que nous avions désignée dans le paragraphe précédent par la notation plus compliquée : R',",- Nous chercherons à éviter les triples

H. P. — VII. 12

1)0 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

indices toutes les fois qu'il ne seront pas nécessaires et nous rangerons les fonctions de Lamé dans un ordre quelconque; nous les appellerons R|, U.j R, Nous poserons donc

Si d'autre part, nous envisageons la fouclion Si conjuguée de Ri, nous aurons

r ' ,11

iîi = 3 V -/- — c- / . •

On a donc à l'extréinilé de l'axe des ; :

et comme nous avons vu plus haut que l;1 est une constante, nous pourrons conclure que gl conserve celle valeur sur toute la surface de l'ellipsoïde.

y

Développons maintenant ^ qui est une fonction de ;j. et de v en une série

convergente de la forme suivante : 2A,M,N,-, A, étant des constantes et M,, >i, des fonctions de Lamé. Cela est loujonrs possible, comme nous l'avons dit à la lin du paragraphe précédent. Nous aurons donc

C = i;\,Mi,-.N,-, et de même

r'= 2a,7'm; n;. On tire de là

j g ';^ rfo) = 2] T" y é'^' ''"' -^'^ ^'f -*-]^ A ,■ A <. ^ gn Ck,^ M, N, Mi N;(.

y,ç--^%/io=2^'^l'MSiy/M?!Vfrf<o-^2A(A*|;:R,S.y/MiN,MiNx^/w. Si l'on observe que

il reslc

Cg^di^i^ ^rRiS.SA;- /"mfN,-^/a).

ou

ou

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. On Iroiive d'autre pari

JE4^ = ..v.u/

A lus Jeux indices i et A pouvaiU cire égaux ou dillerenls. Mais on a

J A ~ -'n -h-i

On a donc

. // A J ? n -^ 1

Si « esl différent de A", on aura

Il reste donc

JJ A ' J ' ' 2 " H- I

On arrive donc fiaalement à l'expression suivante pour VV :

■> ' , ' \ i ■'. Il -h l f

n est bien entendu le degré de la lonclioii de Laïué R,.

Nous pouvons considérer la foruie de la surface déformée comme définie par les coefficients A,. Les coefficients de stabilité seront alors

-'"/(^-îî^) »■.-.•■

Pour qu'un des ellipsoïdes puisse être une forme de bifurcation, il faut que l'un de ces coefficients s'annule, c'est-à-dire que l'on ait

H, S, H,S,-

3 2 « -f-I

pour l'une des fonctions R,.

D'après cela, il y a un des coefficients qui est toujours nul, c'est celui qui correspond à j = i. Cela était aisé à prévoir. En effet on peut déplacer l'ellip- soïde parallèlement à lui-même et parallèlement à l'axe de révolution sans changer l'étal d'équilibre. Si l'on imprime ainsi à l'ellipsoïde un mouvement de translation infiniment petit et parallèle à l'axe des -, et si l'on appelle Ç la distance des deux ellipsoïdes infiniment voisins comptée suivant la normale, on a eu négligeant les infiniment |)etils du deuxième ordre :

r=A,/M,N,.

ç)2 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

A,- étaut une consliinle. Coinnie lo> deux ellipso'idos sont des surfaces d'équi- libre, il faul donc bien que le coetficicul de stabilité qui correspond à i -^ i s'annule. \ a-t-il des cas où d'autres coefficients de stabilité s'annulent '.' c'est ce que nous csaminerons dans les paragraphes suivants.

On peut arriver à l'équation (i) par une autn; voie un peu plus simple et que j'aurais même préférée si je ne me réservais d'e\amineiplus loin la f|uestion de stabilité.

Supposons que l'on ajoute à l'attraction newlonienne et à la force centrifuge qui agissent sur la masse fluide, des forces perturbatrices quelconques, mais très petites. La masse fluide prendrai alors une forme d'équilibre très peu difle- rente de l'eliipso'ide. Celte forme sera unique si aucun des coefficients de stabilité ne s'annule; elle sera mal déterminée en général, si l'un de ces coeffi- cients est nul.

Nous reprendrons les mêmes notations que plus haut et nous définirons la surface d'équilibre déformée par la valeur de t que nous développerons en série comme précédemment :

les A,- étant des coefficients infiniment petits qu'il s'agit de déterminer pour définir la nouvelle forme d'équilibre. Soit comme plus haut V le potentiel dû à l'aliraction de l'ellipsoïde et à la force centrifuge, c le potentiel dû à l'attrac- tion du biiurrelet, i' le potentiel ilTi aux forces perturbatrices. On devra avoir sur toute la nouvelle surface d'équilibre :

Ca) V -H r -f- 1-' = const.

Mais on a, puisque X. est infiniment petit,

et de plus

■ XI dw

=/^

A étant la distance d'un point quelcon(|iie '\y\ bourrelet au |)()iul envisagé de la nouvelle surface libre; mais comme Ç est infiniment petit, on peut remplacer ces deux points par leurs projections sur l'eliipso'ide. A est alors la distance de deux points de l'eliipso'ide et l'on a

'■ =iu ^ 'J — Â — = ' "2; ■.» + , •

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 93

Nous pouvons écrire d'ailleurs

les B, t'iani des coefficienls très petits que l'on peut regarder comme donnés. L'équation (2) pourra alors s'écrire, et remplaçant^ et Ç par leurs valeurs,

_ If BiS.y A;M,N,^-4;ry A;R,S,M,N, ^V B;Mil\', = consl.

i ZU ^ -> n ■+- I .^W

Nous identifierons dans les deux iiiemlircs les coefficients de M,-N, et il viendra

\ .! :> n -hl /

Ces équations détermineront complètement les coetficieiits A, et par consé- quent lu nouvelle forme d'équilibre, à moins qu'on n'ait

, , Kl S, R;Si

C'est donc là aussi la condition pour que l'un des coefficienls de stabilité s'annule.

X. — Discussion de l'équation fondamentale.

Nous avons maintenant à rechercher si l'équation

, , H, S, l-v,S,

(•) -3- - 777^^7 = "'

où p- est rincoiinue admet des racines comprises entre + lï- et +00. Parlons d'abord de l'équation plus générale

Ht Si RiS,-

(2) F =

2 m + 1 - r>.n-i-i

n et m étant les degrés des fonctions R, et R^. Le premier membre F tend vers zéro quand p croît indéfiniment, car les fonctions R^Sa et R,Sj sont de degré — i en p, comme on l'a vu dans le paragraphe précédent. Si Ra et R, con- tiennent en facteur y/p- — r-, F s'annule encore pour p- = c^. On a d'ailleurs

F ^ St 1 _ Ri' ^ __!

R^. R/, ^m-hi Kl R,- 2/? -t-i"

Les racines de l'équation

F

'" R!="

94 SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

qui sont siipéi-ieures à c- soni le> nuMiics que celles de l'équation (a); en ellel R* peut s'annuler pour &-'= c-, niais jaumis pour p- > r-.

Si nous voulons séparer les racines de l'équalion (3), il suffit d'appliquer le ihéorénic de RoUe et d'écrire que la dérivée du premier uicnibrc de (3) est nulle. On olilieni aiu'-i l'é<[ualion

d_ Si IV y Si S,- V H" _

da ( ■> m -+- I ) Ux- R| rfp (-.'n -hi ) H, (-.ui -h i ) H, f/p H'i ~

-Mais on a, d'après la définition uicuie des fondions b : (/Si — 1 ,/ S, — I

rh (2 m -I- I ) Ha k^ V ^?- — ^-MP' — c- j "'? ('• "~'> ''"' H r v/ (p- —b-^) (i2 — C-)

Il reste donc

7 k;

= o,

ce qui e.\j)rinie que le rapport —- passe par un tuaxiniuiii ou minimum, car S ne peut s'annuler.

Nous pouvons donc énoncer le résultai suivant :

Les racines de l'équalion (a) supérieures à c-, en laissant de côté la racine c- si elle existe, sont séparées par les racines de l'équation

dp R| - "' ce qui peut encore s'écrire

(4) h; H* - H',. H; = o,

où

u;.= '-^-, 3=r-_±_

(jherclioiis luainlcnnnt à séparer les racines de l'équation (4) elle-iiicmc. Pour cela annulons la dérivée du premier membre par rapport à £. 11 viendra

( j) H" 1{/ — U/, H, = o,

où

iMais l'équation ( i ) du paragraphe VUl peut s'écrire

en ce qui concerne 1«, cl

l'i'^, = \ rni m -t- i)p- — Kx | li/,

SUR L'EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. ()5

en ce qui concerne R/,. L'équation (5) devient ainsi, en supprimant le facteur lîjli/, qui ne peut s'annuler pour les valeurs supérieures à c- ;

(6) \ n(n -hi) — /«(/// -t- i)]p-~ 13,+ B/,.= o.

Il est clair qu'une pareille o(jualion no peut avoir qu'une racine supérieure à c'^. L'équation (4) aura donc au plus deux racines égales ou supérieures à c-, et l'équation (2) aura au plus trois racines supérieures à c- (sans y comprendre la racine c- si elle existe, mais en y comprenant la racine 00 ).

Si l'équation (4) n'a aucune racine supérieure à <■-, le rapport |^ est toujours croissant ou toujours décroissant quand p' croît de c- à l'infini. Supposons par exemple qu'il soit toujours croissant. On aura alors

7i^nj>"' ''^'" '7pR|<°'

l'expression ki est donc toujours décroissante etcomme elle tend veis zéro [imir

p = 00, elle doit toujours être positive. On a donc F > o. Revenons en particulier à l'équation ( 1 ) et supposons

Kt= K,= v'r--

Supposons d'abord que 1'», contienne ou lacleur yp- — c-, nous pourrons écrire

'"T"

o étant un facteur qui pourra être p, p \' p" — ■ b- ou y p-* — b- et F, étant un polynôme entier en p-. L'équation P,=:o n'est autre que l'équation [S) du paragraphe VIII, débarrassée des facteurs que nous sommes convenus tle lui enlever. Nous avons vu que cette équation a toutes ses racines réelles et

(|u'elles sont comprises entre zéro et c'-. L'équation ' ^ o aura donc aussi

toutes SOS racines réelles et comprises entre zéro et c'-' ; d'où il résulte ([ue, p- croissant de r-' à + 00 , P,- sera constamment croissant. Il en est de même de p

et de \/p^ — b- et par conséquent de o et de 7-^ = cp P,-. 11 en résulte que si R,

contient ^p^ — c' en facteur, l'équation (i) n'a aucune racine supérieure à c- et que son premier membre est toujours positif.

Supposons maintenant que R, ne contienne pas y/p^ — c^ en facteur. Quand

0 est très grand, on peut regarder - comme un infiniment petit du pi'emier ordre.

gfi SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

On a alors en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre :

HiSi=R(S/=-) d'où — = -\ô~- "■

p i ■.> /; -H I p \ û ■' « -H I /

Le premier membre de ( i ) est donc toujours positif, à moins que n ne soit ésral à i .

Pour p-=zc-, Ui S| s'annule et par hypothèse R,S; ne s'annule pas; le premier membre est donc négatif. Ainsi-la substitution de p-:=r'-' et d'une valeur de p- |)ositive et très grande donne des résultais de signe contraire; le nombre <lcs racines de l'équation ( i ) supérieures à r- et finies sera donc impair.

Ornons avons vu (juc le nombre des rarines supérieures à r- étail au plus égal à ô. en y comprenant la racine p-'i=a) ; si l'on ne tient pas compte de cette racine, le nombre des racines sera au plus égal à 2; et comme il doit être impair, il faut qu'il soit égal à i .

Nous avons laissé de côté le cas où /i = i auquel correspondent deux fonc- tions R/, à savoir

R,.= P, R,= v/p°— 6'^

Il est aisé de voir que quand p^ croît depuis r- jusqu'à +00, les rapports

et ' vnni toujours en décroissant. On doit donc conclure que

y?' — c- v'p- — c-

l'équation ( i ) n'a aucune racine finie et plus grande que c-, et que son premier membre est toujours négatif.

Voici donc en résumé quel est le nombre des racines de l'équation ( i ) finies et supérieures à c- :

R, divisible par y/p- — c-'; pas de racine; premier membre positif; R, non divisible par \/p- — c^ ; « > i ; une racine;

Ri non divisible par yp- — c^; n = i; pas de racine; premier membre négatif.

Revenons maintenant au cas général, et cessons de supposer que R/= R( ; qu'arrive-t-il alors de l'équation (2) ?

Soit d'abord « > to, et supposons que R, soit divisible par ^p- — c- et que R/, ne le soit pas. On voit alors tout do suite que F est positif pour p"= c'- et pour p^ très grand et positif. L'équation (2) n'a donc pas de racine finie et

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 97

supérieure à c-, ou bien elle en a deux. Quant au rapport jr-') il est nul pour

p-^c' et infini pourp- = co ; il est donc croissant pour les valeurs de p^ très peu supérieures à c- et pour les valeurs très grandes. Donc dans les cas où l'équation (2) a deux racines, il doit en être de même de l'équation (4) elle

rapport 5^ doit présenter un maximum et un minimum.

Supposons maintenant que R/, soit divisible par y p- — c^ sans que R, le soit. Alors pour p- ^ c-, on a

F<o;

pour p- positif et très grand,

F> o;

il y a donc un nombre impair de racines, et comme ce nombre ne peut dépasser 2, il faut qu'il soit égal à i .

Supposons maintenant que R^, et R/, soient tous deux divisibles par y/p- — c- ou ne le soient ni l'un ni l'autre; on aura alors pour p- = c- :

Il est possible que cette même équation (4) puisse avoir une autre racine supé- rieure à c'-, mais elle n'en peut avoir qu'une. Pour qu'elle en ait une, il faut d'abord que l'équation (6) en ail une, c'est-à-dire que

(7) • B,-— Bi> [«(rt -Hi) — m(m + i)]c^

Cette condition est d'ailleurs suffisante. Si cette condition est remplie l'équa- tion (2) pourra avoir une racine. Dans le cas contraire elle n'en aura aucune. D'ailleurs il en est encore de même si, la condition (7) n'étant pas remplie, R, est divisible par ^p- — c- sans que Ra le soit.

Dans le cas de 71 := //i, qu'il nous reste à examiner, l'équation (6) qui se

réduit à

B,-Bi,= o

ne peut avoir aucune racine. L'équation (4) ne peut donc en avoir qu'une et l'équation (2) en aura également une au plus.

Si de plus R, et Pi/, sont tous deux divisibles par y/p- — c-, ou ne le sont ni l'un ni l'autre, le premier membre de (4) s'annule pour p'-=:c- et ne peut avoir d'autre racine. L'équation (2) n'en a donc aucune.

Si R, est divisible par yp- — c- et que R* ne le soit pas, il peut y avoir zéro ou une racine. Il n'y en a pas si ~ est plus petit que i pour p positif et très H. P. — VII. ,3

98 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

grand. 11 v eu a une dans le cas contraire; car alors pour les valeurs très grandes de p, F est négatif, et pour p'-^c-, on voit aisément que F est positif. En résumé on a

si rt > /« : R/ div. R<- non div. o ou 2 racines;

si n > m : R, non div. R^ div. i racine;

si n > m : Rj div. R^ div. o ou i racine;

si n > m : R; non div. Rj non div. o ou i lacine;

si n = m : R( div. R^ non div. o ou i racine;

si n = m : R, non div. Ri div. o ou i racine;

si n = m : R/ div. R^; div. o racine ;

si n = ni : R/ non div. Rj non div. o racine.

XL — Ellipsoïdes de révolution.

Parmi les ellipsoïdes aplatis de révolution qui sont des figures d'équilibre de notre masse fluide, j en a-t-il qui sont des figures de bifurcation ?

Pour étudier ces ellipsoïdes nous prendrons pour variable indépendante

\/e-' — c-* que nous appellerons A" à l'exemple de Liouville et non plus p^i, afin d'éviter l'indice 2. Nous prendrons c pour unité de longueur, de telle sorte que

c- = I . On aura alors

i Rj „= A(A:-+ i)'-D/+"(A-+ i)", où (-(-y'=/i ou /i-ni,

A étant une constante et D un indice de dérivation par rapport à A". A une même fonction

(i) A(A-'^-t-i)-D-'+«(A-5-+-i)"

correspondent en général deux fonctions de Lamé distinctes, à savoir : R/'/-/',»i et RJ+,_y^„ si /--(-" est pair

et

R«-/,n et R^+i_/^„ SI J -t- n est impair.

A chaque fonction (i) correspondront donc deux coefficients de stabilité que j'appellerai pour abréger By„ et Cy,„. Il y a exception quand j = o. Dans ce cas en efTet, à une fonction (i) ne correspond qu'une seule fonction de Lamé R,' „ si n est pair et R^ ^ si n est impair, et par conséquent ne correspond qu'un seul coefficient de stabilité.

Quand on fait croître w depuis zéro jusqu'à une certaine valeur w,,, on trouve comme figures d'équilibre deux ellipsoïdes de révolution qui se con-

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotatIdn. 99

fondent pour w = W(, et disparaissent pour (•> > 0)0. A chaque valeur de w < wo correspondent donc deux valeurs de k el il est aisé de voir que pour to = o, ces deux valeurs sont A" = o el A' = 00. Pour co = coq, ces deux valeurs se confondent en une seule, Ao. 11 j a donc deux séries linéaires ^ et -' de formes d'équilibre réelles, la série i comprenant les ellipsoïdes tels que A<;A"o, el la série ^', les ellipsoïdes tels que A > Ao-

L'ellipsoïde A =: A'o est une forme limite.

Si l'on fait varier A depuis zéro jusqu'à + ao , on voit l'ellipsoïde, d'abord infiniment aplati, se rapprocher ensuite indéfiniment de la sphère. En même temps w croît d'abord de zéro à Uq et décroît ensuite de to„ à zéro.

Si en suivant la série i ou la série i', on voit un des coefficients de stabilité changer de signe, l'ellipsoïde correspondant sera une forme de bifurcation. Les deux coefficients de stabilité Bj^n et Cy,n que je viens de définir sont toujours égaux entre eux. Quelle est la condition pour que ces coefficients s'annulent ? L'équation By_n=o n'est autre que l'équation (i) du paragraphe précédent. D'après la discussion de ce paragraplie, on voit que le coefficient Bj^n s'annulera pour une certaine valeur de A, si j -+- n est pair et si n est plus grand que 1, et ne s'annulera jamais si celte condition n'est pas remplie. Cette même discussion montre que ce coeHicient change de signe en s'annulanl. Donc l'ellipsoïde correspondant est de bifurcation.

Ainsi à tout système de nombres j et n tels que (2) y = '* (moda), n>i

correspond une valeur de A qui annule deux coefficients de stabilité et par conséquent un ellipsoïde de bifurcation.

Il v a exception pour le système

y = o, n = 2.

L'ellipsoïde correspondant est l'ellipsoïde oj ^ co„. A" = Ao dont nous avons parlé plus haut. C'est une forme limite et non une forme de bifurcation. Un autre système intéressant est le suivant :

J = 2, n = 2.

L'ellipsoïde correspondant est celui qui appartient à la fois à la série des ellip- soïdes de révolution el à celle des ellipsoïdes de Jacobi.

Soient deux nombres y el n quelconques, satisfaisant aux conditions (2); soit Ky,„ la valeur de A qui annule le coefficient By,,, et iîy_„ la valeur de co cor- respondante.

tOO SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Faisons mainionaul

W = !>/,„ -t-£,

£ élanl une quantité iufiniiuoni petite; à cette valeur de w correspondront deux formes d'équilibre, nu ellipsoïde de révolution E et une figure <!> très peu diffé- rente. Eludions de plus près colle lîj^ure <I>. Nous définirons cette figure de la fitçon suivante : menons à l'ellipsoïde E nue normale quelconque. Nous défi- nirons le point lie l'ellipsoïde qui esl le pied de celte normale par deux coor- données o et ^; cp sera l'angle formé par le plan qui passe parle point considéré et l'axe des z avec le plan des xz, et p. sera la deuxième coordonnée elliptique comprise entre 6- = o et c- == i . Je prendrai sur cette normale une longueur Ç. La position d'un point dans l'espace sera ainsi définie par les trois coordonnées Ç, fx (!t ©, et c'est dans ce système de coordonnées que je vais écrire l'équation de la figure •!•. Au système de nombres y* et n correspondent deux fonctions de Lamé ainsi ([u'on l'a vu :

RI .111 3 p. [(• .lU i.

auxquelles il faut adjoindre leurs conjuguées :

/ Ml "u :) pt M- "" *. ,3s ) '"«-/,« "^^ '"«+!-/,«'

^ ' ) N' "!' ■•' et N- "" *■

Les deux fonctions M sont égales cuire elles et s'obtiennent en remplaçant

dans la fonction R correspondante A' par \/i — p.-, et les deux fondions N sont égales, l'une à cosjw, l'autre à siny'cp.

L'équation de la figure >b pourra alors s'écrire

Ç = /(A,M,N,-+- AîMîN.,)

en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre (s étant du premier ordre). Dans cette équation / a le même sens que dans le paragraphe VIII; Ml, N,, M2 et No sont les fonctions (3); A, et A., sont dtiux constantes infini- ment petites du premier ordre et dont le rapport est arbitraire. Posons

A| = Ooos),, A«=0.sinX,

0 étant une constante infiniment petite dépendante de £, et 1 étant une constante arbitraire; il viendra, en remplaçant M,, N|, M^ et N-, par leurs valeurs :

(4; ï = o/cos(y?-/.)M,

la fonction M s'oblenant comme je l'ai dit plus haut.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. ioi

Si l'équation (4) élail, l'équation exacte de la (igure «I», celte équation prou- verait que la figure «ï» jouirait des symétries suivantes :

1° Si y := G, la figure •& serait de révolution autour de l'axe des z.

2° Sij n'est pas nul, la figure <I> ne changerait pas quand on la ferait tourner

autour de l'axe des z d'un angle ^"; elle admettrait y plans de sjmétrie passant

par l'axe des -, de façon que l'angle dièdre de deux de ces plans de symétrie

consécutifs soit -"-•

y

3° Goinmey-l-rt est toujours pair, le plan des x)' serait aussi un plan de symétrie.

4° Enfin si y est pair, l'axe des z serait un axe de symétrie, et l'origine un centre de symétrie.

Mais l'équation (4) n'est qu'une équation approximative de la figure <I>. Pour l'établir, nous avons négligé les infiniment petits du deuxième ordre; de sorte qu'on peut se demander si ces diverses symétries subsisteront encore quand on étudiera l'équation exacte de la figure <I> et qu'on tiendra compte des termes d'ordre supérieur. La réponse à cette question doit être affirmative.

Pour s'en assurer, voici quel artifice on doit employer. Supposons qu'on introduise dans le système des liaisons auxiliaires et qu'on assujettisse la masse fluide à présenter les symétries que nous venons d'énumérer. Je dis que, même avec ces liaisons supplémentaires, l'ellipso'ide qui correspond à la valeur lS.j,n de /{ et à la valeur i2y „ de w sera encore une forme de bifurcation.

En elTet nous avons vu au paragraphe IX qu'une surface très peu différente de cet ellipsoïde peut être définie par la dislance Ç d'un point de cette surface à l'ellipsoïde (comptée sur la normale à l'ellipsoïde) et que cette dislance Ç elle-même est donnée en fonction des coordonnées elliptiques sous la forme d'une série convergente

Mp et N/, étant des fonctions de Lamé, de telle sorte que la surface en question sera déterminée par la connaissance des coefficients A^. INons avons vu ensuite dans le même paragraphe que l'énergie potentielle totale W pouvait s'écrire, en négligeant les cubes des coefficients Ap :

(5) W=\V„+i:A;,Bp,

les Bp étant les coefficients de stabilité; de plus, avons-nous dit, pour que

102 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

l'ellipsoïde soil une figure de bifurcation, il faut et il sulTil que l'un des By, s'annule.

Qu'arrive-t-il maintenant quand on introduit des liaisons dans le système?

Supposons d'abord qu'on assujettisse la masse fluide à être de révolution autour de l'axe des z et symétrique par rapport au plan des xy. Comment ces conditions s'exprimeront-elles analytiquemenl? Elles signifieront que tous les coefficients A^ sont assujettis à être nuls, sauf ceux qui correspondent à une fonction Mp dont les nombres caractéristiques ji et n, satisfassent à la

condition

j\ = o, /ii==o (mod2).

Que faut-il maintenant pour que l'ellipsoïde soit de bifurcation quand on envisage l'équilibre d'une masse fluide assujettie à ces liaisons? Il suffit que dans l'expression (5), le coefficient Bp de l'un des termes AJ^ qui ne sont pas assujettis à être nuls, change de signe.

Nous avons supposé que pour l'ellipsoïde k =Ky^„, le coefficient de stabilité défiai par les deux nombres y et n s'annulait; si nous avons

j = o, /! = o ( mod 2 )

ce coefficient de stabilité est un de ceux qui multiplient un terme A^ non assujetti par les liaisons à être nul.

Si donc on envisage l'équilibre du système soumis aux liaisons que nous venons d'énumérer, l'ellipsoïde A"= K,,,,, sera encore une figure de bifurcation. Pour la valeur de

(D = £!„,„-)-£

on aura donc deux formes d'équilibre du système à liaisons, à savoir un ellipsoïde et une figure <!•' très peu difTérente.

La figure <&', à cause des liaisons mêmes auxquelles elle est supposée assu- jettie, sera de révolution et symétrique par rapport au plan des xy. Mais par suite de la nature même de ces liaisons, la figure <I>' qui est en équilibre en tenant compte des liaisons, restera en équilibre quand on les supprimera. Ce ne peut donc être que la figure <!• elle-même qui se trouve ainsi être de révolu- tion quand j est nul.

Supposons maintenant que y ne soit pas nul.

Assujettissons le système aux liaisons suivantes; la masse devra admettre pour plans de symétrie le plan des xy et les y plans :

i =^s-r (A = o, 1,2, ..., J — 1).

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. io3

Ces conditions Iraduiles analytiqueinent signifient que tous les coefficients A,, sont assujettis à être nuls, sauf ceux qui correspondent à une fonction Myj dont les nombres caractéristiques y'i et rii satisfont à la condition

j\^o (mody), y'i -h «isa o (mod2).

De plus nous avons vu que parmi les fonctions N, les unes sont de la forme cosy'cp et les autres de la forme sinja; les coefficients de ces dernières seront tous assujettis à être nuls.

Pour que l'ellipsoïde soit de bifurcation quand on considère l'équilibre d'une masse soumise à ces liaisons, il faut et il suffit qu'on voie s'annuler l'un des coefficients de stabilité B^, qui multiplie un terme A^ que les liaisons n'assu- jettissent pas à être nul.

Pour l'ellipsoïde A'^Ky,,, les deux coefficients de stabilité définis par les deux nombres J et n s'annulent ; or l'un d'entre eux multiplie un terme A^ que les liaisons n'obligent pas à s'annuler.

Donc, même dans le système à liaisons, l'ellipsoïde Ky,„ sera une forme de bifurcation. Si l'on fait

on aura deux formes d'équilibre du système à liaisons, à savoir un ellipsoïde et une figure $' très peu différente.

La figure <b', en vertu de ses liaisons mêmes, aura y 4- i plans de symétrie. Mais ces liaisons sont de telle nature que l'équilibre de la figure <b' subsistera quand on les supprimera. La figure <ï>' n'est donc autre chose que la figure $ elle-même qui doit ainsi avoir y -+- i plans de symétrie.

Je vais maintenant expliquer pourquoi les liaisons, dont il vient d'être question, sont telles que si une masse fluide est en équilibre en tenant compte de ces liaisons, l'équilibre subsistera encore quand on les supprimera.

Pour simplifier l'exposition, je supposerai un seul plan de symétrie P qui pourra être, soit le plan des xy, soit un plan passant par l'axe des z.

La condition d'équilibre de la masse fluide supposée libre, c'est que le potentiel V, dû à l'action de toutes les forces qui agissent sur une molécule du fluide, soit constant sur toute la surface libre.

Si l'on assujettit la masse fluide à être symétrique par rapport au plan P, cette condition se trouve un peu modifiée. Soient V le potentiel en un point quelconque de la surface libre, V le potentiel en un autre point de cette

:o4 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

surface, svmélri(]iie ilii premier par rapport au plan 1'; la nouvelle condition

d'équilibre sera

V + V"= consl.

Supposons que cette condition soit remplie et que la masse fluide se trouve en équilibre sous l'action des forces extérieures et des liaisons, et soit par conséquent symétrique par rapport au plan P. Si les forces extérieures se réduisent à l'attraction et à la force centrifuge, elles seront elles-mêmes symé- triques par rapport au plan P et l'on aura par conséquent V = V, d'où l'on déduit V = consl. Cette condition montre que l'équilibre subsistera encore quand on supprimera les liaisons. c. q f. u.

Il résulte de cette discussion que les symétries que nous avions été conduit à attribuer à la surface <t, en partant de l'équation (4) qui n'était qu'approxi- mative, lui appartiennent rigoureusement, même quand on tient compte des termes d'ordre supérieur qui entrent dans son équation exacte.

Nous allons nous occuper maintenant de démontrer un résultat qui nous sera utile dans la suite.

Si k est positif et très grand, l'ellipso'ide est très voisin de la sphère et tous

les coefficients de stabilité sont négatifs. Si l'on fait décroître A", il arrivera un

moment où un ou deux de ces coefficients s'annuleront. Quel sera le premier

de ces coefficients qui changera ainsi de signe? Je dis que ce sera celui qui

correspond aux nombres

y = 2, n = 2.

Appelons en effet R2 la fonction de Lamé correspondante et Sn sa conjuguée. Nous aurons

Soit maintenant R,- une autre fonction de Lamé et S,- sa conjuguée. Nous aurons

/' R,= \{k'--hifDJ+''{k"--hi)",

A étant une constante. Nous supposerons que j + n est pair, sans quoi le

coefficient correspondant à R,- ne s'annulerait jamais.

Il s'agit de démontrer que la racine Ko 2 de l'équation

H, S, R,So — 5- =°

est plus grande que la racine Ky,„ de l'équation

R.S, R/S,

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. io5

R S ri ■ S Pour cela il suflit de démontrer que l'expression '."''' '-^-^ csl louiours

positive, ou bien encore que le quotient p-' est toujours croissant.

Nous distinguerons trois cas. i" Supposons d'abord y > I . Il vient alors

^ = A(A-2 + i) - D/+"(A=-+-i)".

A est une constante positive; (A-+ i) ' se réduit à i ou est toujours croissant; enfin le dernier facteur DJ^"(k- -\- \)" est un polynôme entier en /: dont tous les coefficients sont positifs et est par conséquent toujours croissant.

c. Q. F. D.

2" Supposons maintenanty =o; 71 =: 2/). Il vient alors

R, (A-'-Hi)

La dérivée logarithmique du premier membre est doue

D-^/'+'(k'--\-iy-r -ik

■'D=F(FTTp k- -H i ■

Je veux démontrer qu'elle est positive, c'esl-à-dire que

F = ( A-- -H I ) DV^+i — 2 A- DV' > o,

où D-/' et D'-'-"*' désignent les dérivées d'ordre 2/> et2/> + i de (A-+ a)-''. On trouve

(/,2+l)V>=^^^,^yj_^^,/c^/ (y = o, 1,2, ...,2/-.),

d'où

Von! 'yn \

jL^ q\ {■!]) — q)\(}.q — ■>p)\ ^' ^'' '

Nous écrirons pour abréger

D2/'= Zi\,ik"-i-"-P et il viendra

F = (k"--\- i)7:\^(->q —lp)k'-l-V'-i — ikZk^k-'J--l'.

Le coefficient de k"-i~'-P'^^ dans F sera donc

(2g' — 2/)— 2)A^-f-(2g' — 2/7-f- 2)A,+i.

Pour que F soit toujours positif, il suffit que tous ces coefficients soient H. P. — YII. i4

io6 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

positifs, (^r comme tous les A,, sont positifs, il ne peut y avoir de doute que si 20 — 2p — 2 est négatif, c'est-à-dire pour q - p. Le coefficient de F devient alors

2A;:,+1—